史上最全的证明三角形全等的方法

史上最全的证明三角形全等的方法证明两个三角形全等是几何学习的基本功，同学们必须十分熟练地掌握，教科书上给了三个最基本的判定定理，这三个定理可以用用尺规作图来证明。其它的判定方法都是由这三个判定定理衍生和推导出来的，例如比较常用的两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（称为HL），则两个三角形全等。根据勾股定理，很容易得到另一直角边也相等，再利用SSS证全等。使用其它判定方法时一定要非常小心，本文先介绍几个错误的判定方法，再给出能够判定三角形全等的条件。如果对证明过程比较有自信，可以直接跳到文后总结部分。❶以下的条件都不能判定两个三角形全等。1.有两边一角对应相等。下图中令AC=AD，显然△ABC和△ABD满足条件但是并不全等。2.两个直角三角形有两个角和一条直角边对应相等。本条件非常具有迷惑性，大家会误认为它可以推出ASA，其实有反例。△ABC和△ADC满足条件但是并不全等。3.面积和周长分别相等的两个三角形。我们在2017.4.2的文章中给出了一种用椭圆来证明命题不成立的方法，有兴趣的同学可以翻回去看看。这次再给出另外一种方法。显然下图两个绿色三角形面积相等。如果周长不相等，只要把周长较短的那个三角形的顶点沿着等高线向一边拉拉，则周长逐渐增加，总是可以达到两个三角形的周长相等，但是两个三角形并不全等。4.有两条边和该两边上的高对应相等的两个三角形。下图中AB=BC=AC=CD，△ABC和△ACD满足条件但是并不全等。5.有一条边和另外两条边上的高对应相等。下图中△BCD和△BCA满足条件但是并不全等。6.有两条边和第三边上的高对应相等。借用第一个条件的图，AC=AD，AB=AB，显然△ABC和△ABD满足条件但是并不全等。❷以下的条件都可以判定两个三角形全等。1.三条高都对应相等。从上一章节的条件4,5,6可以看到，用三角形的高来证明全等是非常不靠谱的，两边加上这两边上上的高都没法唯一确定三角形的形状。而如果三角形的三条高都相等，则是可以判定全等的。假设两个三角形的面积比为S1：S2，由于两个三角形的三条高对应相等，那么根据二分之一底乘高的面积公式，三角形的三条对应边的边长比例也为S1：S2，所以两个三角形相似，所以两个三角形的三个角对应相等。由三个角相等和三高相等，根据正弦定理，又可以推出三边相等。得证。2.三条中线都对应相等。三角形中线的交点把中线分为2:1的两段。如图，作CG//AD交BE延长线于G点，同样作C'G'.CG=2OD=2O'D'=C'G'OG=OB=O'B'=O'G'OC=O'C'所以△OCG≌△O'C'G'所以两图中的∠1对应相等，由SAS推出△OCE≌△O'C'E'所以两图中的∠2对应相等，且AC=2CE=2C'E'=A'C'由SAS推出△OCA≌△O'C'A',所以两图中的∠3对应相等.由SAS推出△ACD≌△A'C'D',所以∠ACD=∠A'C'D',且BC=2CD=2C'D'=B'C'.由SAS推出△ACB≌△A'C'B'.得证！3.有两条边和任一中线对应相等。3.1中线在不相等的那条边上。简要步骤：倍长AD到AE,倍长A'D'到A'E',可证△ACE≌△A'C'E'得到两图中的∠1对应相等。根据SAS，△ACD≌△A'C'D'.得到BC=2CD=2C'D'=B'C',所以SSS证两个三角形全等。3.2中线在对应相等的一条边上。非常简单，就不再给出证明了。4.有一条边和任两条中线对应相等。4.1相等的两条中线在另外两条边上。如下图，AB=A'B',AD=A'D',BE'=B'E'.易知，AO=A'O',BO=B'O',所以△AOB≌△A'O'B'.所以∠a=∠a'易知：△ABD≌△A'B'D'.所以∠B=∠B'BC=2BD=2B'D'=B'C'△ABC≌△A'B'C'(由SAS)4.2相等的中线有一条在相等的边上。非常简单，就不再给出证明了。5.三条内角平分线都对应相等。需要作外接三角形，证明超级麻烦，过程不作要求，同学们只要知道这个结论就好了。6.有两个内角和任一个内角平分线对应相等。如果已经有两个角对应相等了，第三个角自然也就相等了。所以可以认为任取一个角上的角平分线，图中标示相同的角对应相等。用三次SAS分别证ABD,ACD,ABC就好了。7有两条边和任一角平分线对应相等。7.1两边及夹角的角平分线对应相等这里给出一个几何证法和一个代数证法，几何证法，已知A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,A1D1=A2D2.作C1E1//A1D1交B1A1延长线于E1，同理作C2E2.图中∠1=∠2,所以A1E1=A1C1,A2E2=A2C2,A1D1:C1E1=B1A1(B1A1+A1E1)=B1A1(B1A1+A1C1)A2D2:C2E2=B2A2(B2A2+A2E2)=B2A2(B2A2+A2C2)所以C1E1=C2E2.△A1C1E1≌△A2C2E2所以∠E1=∠E2所以∠B1A1C1=∠B2A2C2.再利用SAS，得证！代数证法，我们在微信公众号中小学百科知识(zxxbkzs)的另一篇文章中证明了Stewart定理和内角平分线公式，现在就派他们上战场。如下图，c=c',b=b',角平分线t=t'，我们来证明a=a'.根据内角平分线定理，易知底边被角平分线分成图中标注的两部分大小。根据Stewart定理：由c=c',b=b',角平分线t=t'，可得a=a'.得证！7.2两边及其中一边对角的角平分线对应相等证明和7.1类似，限于篇幅，不再证明了。如果有问题，欢迎发消息给小编。❸总结一下，以下能证全等的条件中都要求是对应相等。