自动控制原理复习课(2)

自动控制原理复习课二、控制系统的数学模型1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性2.结构图、信号流图电学、力学等。熟悉典型环节的传递函数。例2-1：求下图所示系统的传递函数。解：对于理想放大器则或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼、液位平衡等系统。)(/)(0sUsUisCRRzzsURsUi222011)(00)(其中)1()()(22120sCRRRsUsUi例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数。解：结构图经等效变换为下图：根据闭环传递函数的计算公式，椭圆部分的表达式为：)(/)(sRsC)()()(1)()()()(243432sHsGsGsGsGsGsG)(sG系统的开环传递函数为：整个系统的闭环传递函数为：脉冲响应（作业）)()()()()()(1)()()()()(1322434321sHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsGk)()()()()()()()()()(1)()()()()(/)(43211322434321sGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsRsC。时，则有，当由于G(s)C(s)1)()()()(sRsRsGsC例：已知系统单位脉冲响应为h(t)=2.5e-2.5t试求系统闭环传递函数。（）解：由单位脉冲响应知系统输出信号的传递函数为：输入单位脉冲的传递函数为：R(s)=1则系统闭环传递函数为5.25.2)(ssCaseLat1][5.25.2)()()()(ssCsRsCs三、控制系统的时域分析1.典型输入信号与时域性能指标阶跃函数，斜坡函数，抛物线函数，脉冲函数，正弦函数。tr，tp，ts，，N。（公式）2.二阶系统的时域响应二阶系统传递函数的标准形式：闭环极点的分布：3.高阶阶系统的时域响应（主导极点）什么条件可近似为二阶或一阶？4.二阶系统动态性能的改善)s(snn22%例3-1：已知随动系统如图所示，当K=2时，试求：（1）系统的特征参数；（2）系统的动态性能指标；（3）当系统输入信号r(t)=t时，求系统的稳态误差。解：系统的开环传递函数为：（1）二阶系统的标准形式为：调节时间比较上述两式，；则则（2）超调量n和st和%sse)2(4)15.0(2)(sssssGk)2()(2nnksssG42nsradn/25.022n%16%100%21e）或或%4%2(4325.04343sstns（3）当系统输入信号r(t)=t时，速度误差系数则系统的稳态误差224lim)(lim00sssGKsksv5.0211vssKe瞬态过程的性能指标例子[例]：求系统的特征参数并分析与性能指标的关系：n,)(sR)1(TssK)(sC2222221)(nnnssTKsTsTKKsTsKs[解]：闭环传递函数为：KTTKTTKnnn21122时，快速性好，振荡加剧；K,%,时，T)24(,,%,Ttnsn10下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系：（假设）Friday,May29,202010改善二阶系统响应特性的措施)2(2nnsssTd+-)(sR)(sCa.比例+微分控制)2(2nnsssTd1-)(sR)(sC2222)2()1()(nndndnsTssTs与典型二阶系统的标准形式2222)(nnnsss比较⒈不改变无阻尼振荡频率nnddT2⒉等效阻尼系数为由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量δ%和调节时间ts变小。ddTz1⒊闭环传递函数有零点，将会给系统带来影响。p65改善二阶系统响应特性的措施b.测速反馈控制)2(2nnssskt--)(sR)(sC22222)2/(2)2()1(1)2()(nnntnntnnnskssssksss)2(2nnssskt1-)(sR)(sC与典型二阶系统的标准形式比较2222)(nnnsss⒈不改变无阻尼振荡频率nnttk2⒉等效阻尼系数为由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量δ%和调节时间ts变小。t例3-2：位置随动系统结构图如图所示，其中K=4.试求:1)自然振荡角频率；2)系统的阻尼比；3)超调量和调节时间；4)如果要求ζ=0.707，应使系统参数K=？第3章控制系统的时域分析解：闭环传递函数为写成标准二阶系统形式：对照标准型得：1）自然振荡角频率KssKs2)(2222)(nnnsss第3章控制系统的时域分析其中：K=42Kn2）系统的阻尼比3)超调量调节时间第3章控制系统的时域分析25.021n%47%100%21e%)5(63stns%)2(64stns4）当要求时，（δ%=4.3%）第3章控制系统的时域分析707.02122212121n5.02nK原来K=4，δ%=47%例3-3：为了改善例3-2系统的暂态（瞬态））响应性能，满足单位阶跃输入下系统的超调量的要求，现加入微分负反馈，如图所示。求微分时间常数。s%5%解：系统的开环传递函数为：系统的闭环传递函数为：为了使令。)1411(1414)41(4)(sssssG4)41(4)(2sss707.021%5%KT由可求得并由此可求得开环放大系数为：当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加的系统的阻尼比，提高了系统的平稳性，但同时也降低了系统的开环放大系数，增加了稳态误差。4,4122nn457.0412707.02412n414.1414K%)5(63stns%)5(1.23stns5.线性系统稳定性分析（1）定义：对于一个控制系统，假设其具有一个平衡状态，如果系统受到有界扰动作用偏离了原平衡点，当扰动消除后，经过一段时间，系统又能逐渐回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的。否则，称这个系统不稳定。（取决于系统的结构与参数，与输入信号及初始条件无关。）控制系统稳定的必要和充分条件是：系统特征方程式的根的实部均小于零,或系统的特征根均在根平面的左半平面。（2）劳斯判据线性系统稳定的必要条件：特征方程各项系数为正，且不缺项。控制系统稳定的充分条件：劳斯表中第一列所有元素均大于零。特征方程式中实部为正的特征根的个数等于劳斯表中第一列的元素符号改变的次数。劳斯判据的特殊情况：1)劳斯表中第1列出现零，而该行其余各项不为零应用方法：用一个很小的正数代替零，继续计算其余各元。2)劳斯表中某一行的元素全为零。应用方法：先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现数值相同符号不同的根的数目。再对辅助方程求导，用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯阵列。（3）相对稳定性例3-4：为使图示系统闭环稳定1.确定k的取值范围。2.当k为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。解：由图得系统的闭环传递函数为：则系统的特征方程为：列写如下劳思阵：ksssksRsCs)125.0)(11.0()(/)()(04040140)125.0)(11.0(23ksssksss即1.闭环系统稳定必须使即为使系统闭环稳定，k的取值范围是：2.等幅振荡即临界稳定此时，k=14，辅助方程；令，得因此，当k为14时，系统出现等幅振荡，此时等幅振荡的频率为6.32。04040140kk和140k01440142sjs32.640例3-5：单位负反馈系统的开环传递函数为：要求系统特征根的实部不大于-1，试确定K的取值范围。解：系统的特征方程为：令s1=s+1，则s=s1-1，代入特征方程得：列写劳斯阵因此，K的取值范围是：0158)(23kssssD082512131ksss188k6.系统的稳态误差1）误差的定义：2）稳态误差的定义3）稳态误差的分析4）稳态误差的计算)()()()()()('tctctetbtrtet1()()1()()EsRsGsHs输入形式稳态误差0型系统I型系统II型系统单位阶跃00单位斜坡∞0单位加速度∞∞11pK1vK1aK典型输入下各型系统的稳态误差扰动信号作用下的稳态误差动态误差系数例3-6：已知单位反馈系统的开环传递函数为：式中，输入信号为。（1）求K=1时的系统稳态误差。（2）是否可以选择某个K值使系统的稳态误差为0.025?解：（1）因为系统的开环传递函数为Ⅰ型系统，在时，稳态误差在时，稳态误差所以在K=1时，系统的稳态误差为第3章控制系统的时域分析)1)(1(10)(21sTsTsKsGsTsT5.0,1.021ttr5.02)()(12)(ttr01ssettr5.0)(05.01015.02Kess05.021sssssseee（2）要使，即得K=2。当K=2时，系统的特征方程为：因为系统不稳定，所以，不可以选择合适的K值，使系统的稳态误差为0.025。025.0sse025.01015.02Kess第3章控制系统的时域分析010)(221321KssTTsTT6.05.01.021TT125.01.0101021KTT例3-7：系统框图如图所示。设输入r(t)=1+at，控制器Gc(s)为比例微分环节，且比例系数为1。证明通过适当调节微分时间常数Td，可使系统相对输入r(t)的稳态误差为零。证明：依题意，设Gc(s)=1+Tds系统的传递函数为：此二阶系统只要T0，K0，系统稳定。根据误差的定义有KsTssTKKsTssKGsdc22)1()()()()()()()()(sRssRsCsRsE)()1(22sRKsTssKTTsd输入r(t)=1+at，即故有为使系统相对输入r(t)的稳态误差为零，令ess=0，得。21)(sassRKKTasasKsTssKTTssssEeddssss)1()1()1(lim)(lim22200KTd1num=[0012];den=[1430];rlocus(num,den)v=[-44-66];axis(v);title('Root-LocusPlotofG(s)=K(s+2)/[s(s+1)(s+3)]')xlabel('RealAxis')ylabel('ImagAxis')第4章根轨迹法根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根（闭环极点）在平面上变化的轨迹,它是一种由开环传函求闭环特征根的图解方法。上式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。系统开环传递函数写时间常数形式为若将系统开环传递函数写成零、极点的形式则K为开环放大系数（增益），Kg为开环根轨迹增益。)()1()1()1()1)(1()1()1)(1()()(112121mnsTsKsTsTsTsssKsHsGniimjjnmniimjjgpszsKsHsG11)()()()(niimjjgpzKK11)()(规则1根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。规则2根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴.规则3当开环有限极点数大于n开环有限零点数m时，有(n条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交