板与二项分布的关系的证明(选修2-3)

高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，看一看小球在格子中的分布形状是怎样的？2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系）3．计算小球落入各个格子的概率。”设（如图）高尔顿（钉）板有n行钉，第n行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P（i=0）=C0n（21）n(21)0。观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P（i=1）=C1n（21）n—1(21)1。猜想第i个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i个空的概率为P（i）=Cin（21）n—i(21)i。（i=0，1，2，…，n）现对上猜想给出证明：an，i=P（i）=Cin（21）n—i(21)i。（i=0，1，2，…，n）规定：ai，j表示第i行第j（0≤j≤n）个空球落下的概率。由高尔顿（钉）板可知：a1，0=21，a1，1=21i1,n1i1,nin,1n0,n0,1,0nn,0a21a21aa21aa21a（1≤i≤n－1，n≥2）用数学归纳法证明：1．当n=1时，已如上证。当n=2时，a2，0=21a1，0=（21）2=C02（21）2—0(21)0a2，1=21a1，0+21a1，1=21=C12（21）2—1(21)1a2，2=21a1，1=（21）2=C22(21)0（21）2—0显然成立。2．假设n=k（k≥2）成立（即假设第n行每一个数据都成立）。即ak，i=Cik（21）k—i(21)i当n=k+1时，ak+1，0=21ak，0=21C0k（21）k—0(21)0=C01k（21）(k+1)－0(21)0ak+1，k+1=21ak，k=21Ckk（21）k—k(21)k=Ckk（21）（k+1）—（k+1）(21)k+1=C1k1k（21）（k+1）—（k+1）(21)k+1ak+1，i=21ak，i-1+21ak，i=21C1-ik（21）k-(i-1)(21)i-1+21Cik（21）k-i(21)i=（C1-ik+Cik）（21）k+1=Ci1k（21）(k+1)-i（21）i∴在n=k成立的条件下，n=k+1也成立。3．由1，2得，原命题成立。由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第i个空的概率正好满足二项分布。由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有人发布了试验的动画在此就不做说明）。