X射线晶体学(第三章)

第三章X射线衍射理论当X射线光子投射到试样上，对于被原子核束缚得较紧的电子而言，将在入射波的电磁场作用下作受迫振动，并成为新的电磁波源，向四周发射出与入射线相同频率的电磁波，而且这些电磁波互相干涉，被称之为相干散射波。晶体中每个原子都是这样的相干散射波波源。这些相干波相互干涉的结果，在空间的某些方向上各波始终是互相加强的，而在另一些方向上各波互相抵消。这样，一束X射线照射到试样上，不仅在直射方向有X射线，而在某些特定方向（始终加强的方向）也可能有X射线，把这种现象称为X射线在晶体上的衍射现象，特定方向的X射线称为衍射X射线，简称为衍射线。§3-1布拉格定律一、基本假设1、晶体是理想完整的，即不考虑晶体中存在的缺陷和畸变，忽略原子的热运动，即认为原子是固定不动的；2、把晶体看成是由许多平行的原子平面堆积而成的，衍射线看成是原子平面对入射线的反射。3、认为X射线在晶体中不发生折射，即折射率为1；入射线和反射线之间没有相互作用，反射线在晶体中不被其它原子再散射（这样的理论被称为运动学理论）。4、认为光源和记录系统距离晶体无限远，入射线和反射线都是平行光，也都是单色光。二、布拉格公式的推导1、单一原子平面的散射当一束平行的X射线以θ角投射到原子平面上时，其中任意两个原子的散射线在原子平面反射方向的光程差为A、B两个原子的散射波在原子平面的反射方向的光程差为零，说明它们的周相相同，是干涉加强的。由于A、B是任意的，所以可以认为此原子平面上所有原子的散射波在该方向都是干涉加强的。ADCB0sinsinABAB2、上下原子平面间的散射因为X射线的波长很短，穿透能力强，它不仅使表面的原子成为散射波源，而且能够使晶体内部的原子成为散射波源。在这种情况下衍射线是由许多平行的原子平面反射的反射线迭加的结果。如图，一束波长为λ的X射线以θ角投射到晶面间距为d的一组原子平面上，其中任意两个相邻原子平面为P1、P2。其反射的反射波的光程差为已知，干涉加强的条件是光程差等于波长的整数倍，即式中，n为整数，称为反射级数或衍射级数。当n=1时，相邻原子平面的反射称为1级反射，光程差为λ，2级反射的光程差为2λ。θ为入射线或反射线与反射原子平面之间的夹角，称为掠射角或半衍射角，而把2θ称为衍射角，其为入射线与衍射线之间的夹角。上式是产生衍射的必须满足的基本条件，它反映了反射线方向与晶体结构的关系，称为布拉格方程（布拉格公式、布拉格定律）。sin2sinsindddBFEBndsin2三、讨论1、X射线被晶体的反射实质上是晶体中各原子散射波之间干涉的结果，只是衍射线方向恰好相当于原子平面对X射线的反射。原子平面对X射线的反射，只有在满足布拉格公式的方向才能发生，所以X射线的这种反射是选择反射。以后所说的反射或衍射，其实质都是说的衍射问题。2、产生衍射的极限条件1）能够在晶体中产生衍射的波长是有限的在能够被观察的条件下，能够被衍射的X射线波长必须小于至多等于参加反射的最大晶面间距的两倍。否则不能产生衍射现象。2）当入射线一定时，晶体中能够参加反射的晶面族是有限的，即只有那些晶面间距大于入射线波长一半的晶面才能产生衍射。3、干涉面和干涉指数对布拉格公式，除了d、θ、λ是可以变化的量以为，还有变量n的存在，这在应用上很不方便。如果将n隐含到d中，使布拉格公式简化。即令则晶面间距dHKL的晶面并不一定是晶体中的真正原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反射面，把这样的反射面称为干涉面（衍射面），干涉面的指数称为干涉指数（衍射指数），通常用HKL表示，H=nh，K=nk，L=nl。sin2ndnddhklHKLsin2HKLd从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面间距d的函数，如果将各晶系的d值代入布拉格方程，就能得到各晶系衍射花样与晶体结构的关系。例如，立方晶系而四方晶系为可见。对不同晶系，或同一晶系而晶胞大小不同的晶体，其衍射花样是不同的，所以说，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化。2222224sinLKHa22222224sincLaKH§3-2衍射矢量方程和厄瓦尔德图解一、衍射矢量方程当一束X射线照射到原子平面上，为该平面的法线方向，如果把入射线和衍射线方向的单位矢量记为和,则称为衍射矢量，其方向与衍射面垂直，即平行于，而且N0ss0ssONsin2sin20sss因为垂直于原子平面，且等于，所以该矢量也为倒易矢量。HKLHKLHKLHKLdssdssdd1sin2sin2sin2000ssHKLgHKLd1上式称为衍射矢量方程。衍射矢量方程是布拉格公式的矢量式，这样，布拉格定律可以描述为：当满足衍射条件时，衍射矢量的方向就是衍射面的法线方向，衍射矢量的长度与衍射晶面族的晶面间距的倒数成比例，λ为比例系数。***0cLbKaHgssHKL二、厄瓦尔德图解1、衍射矢量三角形衍射矢量方程的图解表达形式是由、和三个矢量构成的等腰矢量三角形，它表明了入射线方向、衍射线方向和倒易矢量之间的几何关系。s0sgss02、厄瓦尔德图解法的依据当一束X射线以一定的角度投射到晶体上时，可能会有若干个晶面族满足衍射条件，在若干个方向产生衍射线，即在一个公共边上构成若干个矢量三角形，其中公有矢量的起点为各等腰三角形的公共顶点，末端为该公共底角的顶点，即倒易矢量的原点，另一个底角的顶点是满足衍射条件的结点。0s0s3、厄瓦尔德作图法在入射线方向作一个矢量，使这个矢量的长度等于，这个矢量的端点落在倒易原点，以这个矢量的起点为球心，这个矢量的长度为半径作球，称为反射球。这个反射球一定经过倒易原点。凡是位于反射球上的倒易点所对应的晶面都满足衍射条件产生衍射，衍射线的方向是由反射球的球心到这个倒易结点的连线方向。从以上的分析可以看出，并不是将一个晶体随便置于X射线的辐照下都能产生衍射现象，而必须设计各种条件以使倒易结点有可能位于反射球上。0ss11§3-3电子对X射线的散射假设一束X射线沿ox入射，在o处碰到电子e，为了研究问题的方便，在引入坐标系时，假设z方向为垂直方向，所以E0在yoz平面内。现在讨论在xoz平面内距离o点处的电子R远的一点p处的散射强度。根据电磁波理论，p点的电磁波场强为式中：e—电子的电量；m—电子的质量；c—光的转播速度；φ—散射线方向与E0的夹角。由于辐射的强度与振幅的平方成正比。所以p点处的辐射强度Ie与入射强度I0的比值为上式结果是假定入射X射线为平面偏振波，但在一般情况下并没有经过偏振化,其电场矢量E0可以在垂直于ox的yoz平面上的任意方向。sin220mRceEEe242240sincRmeIIe不管矢量E0的方向如何，都可以将其分解为沿y方向的分量和沿z方向的分量。即由于E0在各个方向的几率相等，因此则如果E0平行于z轴，这时φ=90°-2θ，所以zyIII000zyEE000002020202121IIIEEEzyzy20202000zyzoyEEEEEE2cos21290sin4224242240cRmecRmeIIozez2020zyEE如果E0平行于y轴，这时φ=90°所以这个公式即为一个未被偏振的射线，经电子散射后在距电子R处一点的散射强度公式，称为汤姆逊公式。称为偏振因子。422402422402190sincRmecRmeIIyey22cos12cos212422404224042240cRmeIcRmeIcRmeIIIIeyez22cos12§3-4原子对X射线的散射一、原子散射因子如果入射X射线的波长比原子直径大得很多时，可以近似地认为原子中的所有电子都集中在一点同时振动，在这种情况下，所有电子散射波的位相都是相同的，因此受这个原子散射的散射线在距原子中心R远处的强度为：eaIzczmRzeI2242422cos1但通常衍射用的X射线波长与原子直径处于同一数量级，不能再认为原子中的所有电子都集中于一点，这样散射波不是同周期的，而是存在着一定的周相差，散射强度由于受干涉作用的影响而被减弱，因此则式中，Ee：一个电子散射的相干波振幅；Ea：一个原子散射的相干波振幅。f称为原子散射因子（原子振幅），它表达一个原子的散射和一个电子的散射之间对应关系。eaEEfeaIfI2二、影响原子散射因子的因素假设原子内含有z个电子，它们在空间的瞬时位置用表示，如果取原子中某个电子为坐标原点，则第j个电子与原点处的电子的散射波的光程差为jr0sOAsOAOnAmjjrssOAss00cossin2cos0jjrssr周相差令所以则根据波的迭加原理，如果n个波在某一方向上传播，则所观察到的振幅是各个波振幅之和，因此沿方向传播到观察点的原子散射波振幅为cossin42jjsin4kcosjjkrcosjikreiejeEeEEziiieaeeeEE21zjikrejeE1cosziikrjef1coss在实际工作中，所测的并不是散射强度的瞬时值，而是它的平均值，所以必须描述原子散射的平均状态。如果将原子中的电子看成为一个连续分布的电子云，电子云的密度为ρ，则在dV体积内的电子数dn=ρdV，在dV体积内所有电子的散射波振幅为cosjikreadVeEdE假设电子云是球对称的，其径向分布函数为在球坐标中dVeEEVikreajcosrrru2424rrurdrddrdVsin2drddrerruEEikreasin42cos020020sindrkrkrruEef是k的函数，而，所以是的函数右图是f与的关系曲线，各元素的原子散射因子可从书后附录中查出。drkrkrruEEfeasin0sinsin4ksin§3-5晶胞对X射线的散射一、系统消光假设一束单色X射线以θ角投射到简单立方晶胞的(001)面上产生衍射时，11′和22′之间的光程差为一个波长的整数倍（假设为1倍），所以1′和2′是同位相的，为干涉加强，如图（a）。图（b）为体心立方结构的(001)面，11′和22′显然也是同位相的，但由于在两个(001)面之间还有一个原子平面，它的入射线和反射线为33′，这时33′和11′的光程差DEF恰好是ABC的一半，即为半波长，因此反射线1′和3′的位相相反，互相抵消，这样体心立方结构的(001)面不会产生衍射。这个事实说明，在复杂结构晶体中，并不是符合布拉格公式的方向都有衍射线出现，可以说布拉格公式是产生衍射的必要条件，而不是充要条件。这种由于晶体结构的原因而导致某些衍射线不能出现的现象称为系统消光。二、结构因子F的引入当X射线投射到一个晶胞上时，由于晶胞内各个原子所散射的波具有不同的周相和振幅，所以晶胞中所有原子散射的合成振幅不可能等于各原子散射振幅的简单相加，为此引入一个称为结构因子的参量来表征晶胞的相干散射，记为FHKL（简写为F）。Eb：一个晶胞内所有原子散射波振幅；Ee：一个电子散射波振幅。ebEEF三、结构因子表达式的导出设一个晶胞内有n个原子，其中第j个原子的坐标为xjyjzj，晶胞基矢为a、b、c，fj为第j个原子的散射因子，O为晶胞顶点，并作为坐标原点，A为第j个原子的位置，则czbyaxrOAjjjjA、O两个原子散射波的光程差为周相差0ssrj02ssrj***2cLbKaHczbyaxjjjj