1[1].8函数的连续性

第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结一、函数的连续性1.函数的增量.,),(,)()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy2.连续的定义定义1设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义2设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.:定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当0lim()xxfx0()fx在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在左右极限存在并相等例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内是连续的有理函数在区间例3.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf1.在x0及其附近定义;2.极限存在左右极限存在并相等001.();2.lim().xxfxxfx在无定义或不存在1.可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例4.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f1.x为函数的可去间断点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy112.)(1.10处无定义在：情形xxfxOy0x●x)(xfy●x●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!0xx自由地趋于A注意到：这种间断点称为可去间断点..)(,)()()(lim0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0x●x)(xfy●x●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点..)(,)()()(lim0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx0001.2().lim()lim().xxxxfxxfxfx情形：在处有或无定义但存在Axfxfxfxxxx)(lim)(lim)(000补充定义：A正好，连上了，我和其他的点连上了！2.跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例5.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点xxOy)(xfy●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了!!!.),(lim)(lim.)(2000都存在但处有定义在：情形xfxfxxfxxxx●0xxx注意到：这种间断点称为跳跃间断点..)(,)()(lim000限存在，有较好的性质的单侧极的左右两边，但分别考虑处连续在不存在，因此无法使得在这种情形下，xfxxxfxfxx这点放哪儿能接上呢？●3.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间xOy0xx)(xfyx.)(.)(lim)(lim.)(30000的渐进线称为此时，直线或或一个为至少有和或无定义处有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点0xx例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.xx.)(40无限震荡（无）定义，处有在：情形xxf●：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？●：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！●●●●xy1sinxy11这种间断点称为震荡间断点。,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,,,,)(是无理数时当是有理数时当xxxxxf仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★o1x2x3xyxxfy,,1,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxf在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例8.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)间断点第一类可去跳跃第二类无穷振荡limf(x)=f(x0)不成立xx0f(x0+0),f(x0-0)都存在f(x0+0),f(x0-0)至少一个不存在f(x0+0)=f(x0-0)=A存在f(x0)无意义,或f(x0)Af(x0+0),f(x0-0)存在,但f(x0+0)f(x0-0).f(x0+0)=或f(x0-0)=f(x0+0)或f(x0-0)不存在,但f(x)在x0附近有界.可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？思考题解答)(xf在0x连续，)()(lim00xfxfxx)()()()(000xfxfxfxf且)()(lim00xfxfxx)(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续但|)(|xf、)(2xf在00x连续一、填空题：1、指出23122xxxy在1x是第_______类间断点；在2x是第_____类间断点.2、指出)1(22xxxxy在0x是第________类间断点；在1x是第______类间断点；在1x是第_____类间断点.二、研究函数1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的图形.练习题三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.1、1,31,1)(xxxxxf在Rx上.2、xxxftan)(,在Rx上.四、讨论函数nnnxxxf2211lim)(的连续性，若有间断点，判断其类型.五、试确定ba,的值,使)1)(()(xaxbexfx，（1）有无穷间断点0x；（2）有可去间断点1x.一、1、一类,二类；2、一类,一类,二类.二、,),1()1,()(内连续与在xf1x为跳跃间断点.三、1、1x为第一类间断点；2、,2为可去间断点kx)0(kkx为第二类间断点.0,12,,tan)(1xkkxxxxf),2,1,0(k,练习题答案),2,1,0(2,02,,tan)(2kkxkkxxxxf.四、1,0,01,)(xxxxxxf1x和1x为第一类间断点.五、(1);1,0ba(2)eba,1.