函数高考复习课件(3)全面版

考纲要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念、指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.1.从近几年的高考命题看，对本节的考查以基础知识为主，一是考查函数的图象、运算、数值大小的比较；二是与二次函数、方程、不等式等结合，考查函数的性质及应用．2.题型主要以选择题、填空题为主，如运算、比较大小、性质运用等；与方程、不等式结合时以解答题形式出现，属中档题.一、根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有，它们互为________负数没有偶次方根xn＝a正数负数两个相反数na±na(a＞0)(2)两个重要公式②()n＝(注意a必须使有意义)．nanaa二、有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝(n∈N*)；②零指数幂：a0＝(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；11apnam⑤负分数指数幂：＝＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂无意义．1nam0(2)有理数指数幂的性质①aras＝(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂也适用．三、指数函数的图象和性质函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象0＜a＜1a＞1图象特征在x轴，过定点______当x逐渐增大时，图象逐渐下降呈“捺”状当x逐渐增大时，图象逐渐上升呈“撇”状上方(0,1)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增函数值变化规律当x＝0时，_______当x＜0时，；当x＞0时，___________当x＜0时，；当x＞0时，_______y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1提示：关于y轴对称．指数函数y＝ax与y＝1ax(a＞0且a≠1)的图象有何关系？1．已知a14，则化简44a－12的结果是()A.1－4aB.4a－1C．－1－4aD．－4a－1解析：∵a14，∴4a－10，∴44a－12＝1－4a.答案：A2．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)解析：令x＝1，得f(1)＝4＋a0＝5，故定点P的坐标为(1,5)．答案：A3．已知函数f(x)＝fx＋2，x212x，x2，则f(－3)的值为()A．2B．8C.18D.12解析：f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝123＝18.答案：C4．函数y＝32x－1－127的定义域是________．解析：由32x－1－127≥0得32x－1≥127＝3－3，∴2x－1≥－3，解得x≥－1.∴函数的定义域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)5．函数f(x)＝ax(0＜a＜1)，x∈[1,2]的最大值比最小值大a2，则a的值为________．解析：由已知可得a2＝a－a2(0＜a＜1)，解得a＝12.答案：12【考向探寻】1．根式、指数幂的化简与求值．2．有条件(限制条件)的指数式的化简与求值．3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．【典例剖析】(1)根据有理数指数幂的运算性质求解；(2)把根式化为有理数指数幂，然后化简、计算；(3)由求得x，代入式子化简计算．解：(1)原式＝(0.3)2＋－259＝9100＋53－53＝9100.(3)由得x＝a＋1a＋2，∴x2－4x＝x(x－4)＝a＋1a＋2a＋1a－2＝a＋1a2－4＝a2＋1a2－2＝a－1a2，∴原式＝a＋1a＋a－1a2a＋1a－a－1a2＝a2.【互动探究】在本例(3)中，若将条件改为“已知求下列各式的值．(1)a2＋a－2；”则如何解？解：(1)∵＝3，指数幂化简与求值的原则及要求(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算.【考向探寻】1．画指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象及图象的应用．2．指数函数的性质及应用．【典例剖析】(1)设函数f(x)＝2x1＋2x－12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是________．(2)已知函数y＝13|x＋1|.①作出该函数的图象；②由图象指出函数的单调区间；③由图象指出当x取什么值时函数有最值．题号分析(1)①化简解析式；②利用单调性．(2)①化简解析式；②画出函数的图象；③根据图象解题即可.(1)解析：f(x)＝2x1＋2x－12＝1－11＋2x－12＝12－12x＋1.∵t＝2x＋1在R上递增，且2x＋11，∴f(x)在R上是增函数，－12f(x)12，故y＝[f(x)]的值域是[－1,0]．答案：[－1,0](2)解：①由已知可得：y＝13|x＋1|＝13x＋1x≥－13x＋1x＜－1，其图象由两部分组成：一部分是：y＝13x(x≥0)――→向左平移1个单位y＝13x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x＜0)――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x＜－1)．图象如图：②由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．③由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．(1)指数函数y＝ax与y＝1ax(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．(2)函数y＝a|x|(a＞0，a≠1)的图象和性质①函数y＝a|x|(a＞0，a≠1)的图象如下：②函数y＝a|x|(a＞0，a≠1)是偶函数．当a＞1时，函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增；当0＜a＜1时，函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．【活学活用】1.(1)如图所示的是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc解析：令x＝1，由图象知c1d1a1b1，∴ba1dc.答案：B(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析：数形结合，当a1时，如图①，只有一个公共点，当0a1时，如图②，由图象可知02a1，∴0a12.答案：0，12【考向探寻】1．利用指数函数图象、性质解决有关综合问题．2．利用指数函数求有关参数的取值范围．【典例剖析】(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．(1)fx为奇函数→f0＝0且f－1＝－f1→a，b的值(2)由1判断fx的单调性→利用奇偶性将原不等式转化为两函数值大小关系→利用单调性得关于t的不等式→k的范围(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1………………2分从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.………………………4分(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.………6分又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).…………………8分因f(x)是减函数，所以t2－2t＞－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0.……………………10分从而判别式Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－13.因此所求k的取值范围为－∞，－13.……………12分(1)解决恒成立问题时常转化为求最值来解决．(2)指数不等式的解法．对于不等式af(x)ag(x)(a0且a≠1)，可利用指数函数的单调性求解．当0a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)；当a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)．【活学活用】2．(2013·烟台模拟)奇函数f(x)＝m－gx1＋gx的定义域为R，其中y＝g(x)为指数函数且图象过点(2,9)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0,5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝ax(a0且a≠1)，则a2＝9，∴a＝3或a＝－3(舍去)，∴g(x)＝3x，f(x)＝m－3x1＋3x.又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴m－11＋1＝0，∴m＝1，∴f(x)＝1－3x1＋3x.(2)∵f(x)＝1－3x1＋3x＝－3x＋1－23x＋1＝－1＋23x＋1，∵y＝3x＋1递增，y＝23x＋1递减，∴f(x)为减函数．要使对任意的t∈[0,5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)0恒成立，即对任意的t∈[0,5]，f(t2＋2t＋k)－f(－2t2＋2t－5)恒成立．∵f(x)为奇函数，∴f(t2＋2t＋k)f(2t2－2t＋5)恒成立．又∵y＝f(x)在R上单调递减，∴t2＋2t＋k2t2－2t＋5在t∈[0,5]时恒成立，∴kt2－4t＋5＝(t－2)2＋1在t∈[0,5]时恒成立．而当t∈[0,5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，∴k1.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a的值．设ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.由于x∈[－1,1]，所以t∈1a，a.因此当t＝a时y取最大值，有(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)，即a＝3.本题的错解在于忽视了对参数a的讨论，误认为a1.解：设t＝ax，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a1时，t∈[a－1，a]，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0a1时，t∈[a，a－1]，ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，解得a＝13或a＝－15(舍去)．故所求a的值为3或13.在研究与指数函数有关的问题时，若底数含有参数时，要对参数的取值进行分类讨论，即分为底数a1和0a1两种情况，进而确定函数的单调性，使问题得以解决．点击进入WORD链接活页作业谢谢观看！只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向