2009年辽宁高考数学理科卷带详解

2009年全国统一考试（辽宁卷）理科数学一、选择题（每小题5分，共60分）.1.已知集合35,55MxxNxx„,则MN()A.55xxB.35xxC.55xx„D.35xx„【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.2.已知复数12iz，那么1z=()A.525i55B.525i55C.12i55D.12i55【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】21112i12i12i12i(12i)(12i)1255z.3.平面向量a与b的夹角为60，(2,0)a，1b则2ab()A.3B.23C.4D.12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos60412aabaabb,∴223ab.4.已知圆C与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线0xy上，则圆C的方程为()A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】圆心在0xy上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A.70种B.80种C.100种D.140种【测量目标】排列组合.【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】直接法：一男两女,有1254CC＝5×6＝30种,两男一女,有2154CC＝10×4＝40种,共计70种.间接法：任意选取39C＝84种,其中都是男医生有35C＝10种,都是女医生有14C＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.6.设等比数列na的前n项和为nS，若633SS,则69SS=()A.2B.73C.83D.3【测量目标】等比数列的前n项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设公比为q,则3336333(1)132SqSqqSS.于是63693112471123SqqSq.7.曲线2xyx在点(1,1)处的切线方程为()A.2yxB.32yxC.23yxD.21yx【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】2222(2)(2)xxyxx,当1x时切线斜率为2k.8.已知函数()cos()fxAx的图象如图所示，π2()23f，则(0)f=()第8题图A.23B.23C.12D.12w.w.w.k【测量目标】函数sin()yAx的图像与性质.【考查方式】给出函数sin()yAx的图像，运用其性质求解未知数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π3于是2π(0)()3ff,注意到2π3与π2关于7π12对称所以2ππ2()()323ff.9.已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足1(21)()3fxf的x取值范围是（）A.12(,)33B.12,33C.12(,)23D.12,23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】由于()fx是偶函数,故()()fxfx∴得1(21)()3fxf,再根据()fx的单调性得1213x解得1233x.10.某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据1a，2a，...Na，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()第10题图A.0,AVSTB.0,AVSTC.0,AVSTw.w.w.k.s.5.u.c.o.mD.0,AVST【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】月总收入为S,因此0A时归入S,判断框内填0A支出T为负数,因此月盈利VST.11.正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()A.1:1B.1:2C.2:1D.3:2【测量目标】锥的体积.【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积.在底面正六边形ABCDEF中3tan303BHABAB而3BDAB故DH＝2BH于是22DGACBGACPGACVVV第11题图12.若1x满足225xx,2x满足222log(1)5xx,12xx()A.52B.3C.72D.4【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由题意225xx①222log(1)5xx②（步骤1）所以112252,log(52)xxxx即12122log(52)xx（步骤2）令1272xt,代入上式得22722log(22)22log(1)ttt2522log(1)tt与②式比较得2tx于是12272xx（步骤3）1272xx,故选C.（步骤4）13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h.【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案.【难易程度】容易【参考答案】1013【试题解析】9801102021032110134x.14.等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a.【测量目标】数列的通项公式na与前n项和nS的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等【参考答案】13【试题解析】∵11(1)2nSnannd∴5131510,33SadSad.∴5311114653060(1515)154515(3)15SSadadadada.∵53655,SS故413a.15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体积为3m.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第15题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积.【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于16×2×4×3＝4.16.已知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为.【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值.【难易程度】中等【参考答案】9【试题解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为(4,0)F,于是由双曲线性质24PFPFa而5PAPFAF…两式相加得9PFPA…,当且仅当,,APF三点共线时等号成立.17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，0.1ACkm.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.44）第17题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题.【难易程度】中等【试题解析】在ABC△中，30,6030DACADCDAC.（步骤1）所以0.1CDAC又180606060BCD，（步骤2）故CB是CAD△底边AD的中垂线，所以BDBA,（步骤3）在ABC△中，sinsinABACBCAABC即sin60326sin1520ACAB（步骤4）因此，3260.33km20BD.故B，D的距离约为0.33km.（步骤5）18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第18题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系.【难易程度】较难【试题解析】（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG.设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG2（步骤1）因为平面ABCD⊥平面DCED，所以MG⊥平面DCEF，可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角.（步骤2）因为MN6，所以6sin3MNG为MN与平面DCEF所成角的正弦值.（步骤3）解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为,,xyz轴正半轴建立空间直角坐标系如图.（步骤1）则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得(1,1,2)MN（步骤2）又(0,2,2)DA为平面DCEF的法向量，可得6cos(,)3MNDAMNDAMNDA·所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为6cos,3MNDA（步骤3）第18题(1)图(2)假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又AB//CD，所以AB//平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN.又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立.所以ME与BN不共面，它们是异面直线.19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.（1）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（2）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求()PA【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题.【难易程度