搜索
第40课平面向量的数量积●考试目标主词填空1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.2.平面向量数量积的重要性质.①|a|==;cosθ=;|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a,b共线时取等号.②设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|=;cosθ=;|x1x2+y1y2|≤3.两向量垂直的充要条件若a,b均为非零向量,则:a⊥ba·b=0.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.4.向量的模及三角不等式|a|2=a·a或|a|=;|a·b|≤|a|·|b|;|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b);|a±b|=(θ为a,b夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.5.三角不等式的推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.●题型示例点津归纳【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且=a,=b,=c,求a·b+b·c+c·a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;(4)已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向值时，p⊥q.【解前点津】(1)利用x2=x·x,通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0a·b+b·c+c·a=.(2)cosr,a=,∵|r|=且r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.∴|r|=cosr,a=;cosr,b=;cosr,c=.(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0|a|2=|b|2=2a·b(|a|·|b|)2=4(a·b)2.由cosa,b=得:a,b=;由cosa,b=-得:a,b=.(4)令p·q=0得:(3a-b)·(λa+17b)=03λ|a|2-17|b|2+(51-λ)a·b=0①将|a|=2,|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值.【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.【规范解答】①当∠A=90°时,因为·=0,∴2×1+3·k=0,∴k=-.②当∠B=90°时,=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∵·=0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0k=.③当∠C=90°时,∵·=0,∴-1+k·(k-3)=0,k2-3k-1=0k=.∴k的取值为:-,或.【解后归纳】在三角形中计算两向量的内积，应注意方向及两向量的夹角.【例3】用向量法证明以下各题.(1)三角形中的余弦定理:a2=b2+c2-2bc·cosA;(2)平行四边形成为菱形的充要条件是其对角线互相垂直;(3)内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.【解前点津】(1)(如图1)在△ABC中,构造内积·,(2)在平行四边形ABCD中,证明内积·=0.【规范解答】(1)在△ABC中.由·=||·||·cosA=bccosA2·=2bccosA①又∵·=(+)·=(-)·=2-·②∵·=·(+)=2+·③②+③得:2·=2-·+2+·=2+2-2=b2+c2-a2代入①得:b2+c2-a2=2bc·cosA故:a2=b2+c2-2bc·cosA.(2)必要性,因平行四边形ABCD为菱形(如图2),那么:||=||=||=||于是:·=(+)·(+)=(-+)·(+)=2-2=||2-||2=0,∴⊥.(3)如图3，O是半圆的圆心，直径AB是△ABC的一条边,连CO,则OA=OB=OC,∵·=(+)·(+)=(-)·(+)=2-2=||2-||2=0,∴⊥,∠ACB=90°.【解后归纳】将平面图形中垂直关系的论证，转化为内积的运算，是应用向量知识的常规方法.【例4】已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.(1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.【规范解答】(1)|a|=,|b|=cosα=,∴α=π-arccos.(2)|a+b|=,|a-b|=.cosβ=.【解后归纳】本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,则向量m=a-4b的模为()A.2B.2C.6D.123.a,b是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2是a⊥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于()A.23B.57C.63D.835.已知a=(λ,2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.λB.λ≥C.λD.λ≤6.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于()A.或B或C或D或7.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB中垂线上,则x为()A.-B.C.2D.-29.已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的夹角为,则k的值为()A.-4B.4C.5D.-510.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x·a=9与x·b=-4的向量x为()A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)二、思维激活11.已知向量a、b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=.12.已知a⊥b、c与a,b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=.13.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若c⊥a,则c=.14.已知点A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=,b=,则a与b的夹角为.三、能力提高15.设A、B、C、D是平面内任意四点,求·+·+·值.16.设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,O是原点，求满足+=时的坐标.17.已知两单位向量a与b的夹角为120°,若c=2a-b,d=3b-a,试求:c与d的夹角.18.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)·b,y=-ka+t·b,且x⊥y,试求的最小值.第4课平面向量的数量积习题解答1.D∵a·(a-b)=a2-a·b=0,∴a·b=1=1·cosθ,∴cosθ=.2.B|m|==.3.C展开得:a2+b2+2a·b=a2+b2a·b=0.4.D原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5.A∵a·b=10-3λ,|a|=,|b|=,∴由cosα=0得λ.6.D设b=(x,y),则x2+y2=1且4x+3y=0解方程组得或.7.C∵a·b=2×(-4)+3×7=13,|a|=,|b|=,∴13=·cosθ,∴|a|·cosθ=.8.C由条件知AB中点为M,令·=0得:(x-1,-1)·(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)·(-3)=0,x=2.9.D作内积:a·b=3k=3·cosk0且=-kk=-5.10.B设x=(m,n),则由条件得,故x=(2,-3).11.由已知条件得:a·b=1,故原式=.12.由条件得:c·a=3×1×cos60°=,c·b=3×2·cos60°=3.原式=a2+4b2+c2+2a·c+4a·b-4b·c=1+16+9+3-12=17.13.∵c=(1-k,1-2k),∴由c·a=0得1·(1-k)+2(1-2k)=0得k=c=.14.由条件a=(-1,-1),b=(-1,0)|a|=,|b|=1,由a·b=cosθ得:(-1·(-1)+(-1)·0=cosθcosθ=θ=45°.15.∵=-,=-,=-,∴原式=(-)·+(-)·+(-)·=·-·+·-·+·-·=0.16.设=(x,y),由⊥得:-x+2y=0,又=-=(x+1,y-2),而∥3(y-2)-(x+1)=0解关于x,y的方程组得x=14,y=7.∴=(14,7)=-=(11,6).17.∵a、b是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且a,b夹角为120°.∴a·b=|a|·|b|·cos120°=-,∵|c|2=c·c=(2a-b)·(2a-b)=4a·a-4a·b+b·b=4|a|2-4a·b+|b|2=7,∴|c|=.∵|d|2=d·d=(3b-a)·(3b-a)=9b·b-6a·b+a·a=13,∴|d|=.∵c·d=(2a-b)·(3b-a)=6a·b-3b·b-2a·a+a·b=-,∴cosθ=-(θ为c、d夹角).∴θ=π-arccos.18.∵|a|=,|b|=,∵a·b=,故a⊥b,∵x·y=0,∴［a+(t2-3)·b］·［-ka+tb］=0化简得:k=.∴≥-.当且仅当t=-2时,有最小值-.