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一元一次不等式组及其应用◆知识讲解．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组（其中）图示解集口诀xaxb≥同大取大xaxb≤同小取小xaxb≤≤大小、小大中间找xaxb空集小小、大大找不到．列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（）解不等式组；（）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．◆例题解析例（，江苏江阴）关于的不等式组1532223xxxxa只有个整数解，则的取值范围是：（）．≤≤143．≤≤143．≤143．143【分析】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题．其基本思路为先解关于的一元一次不等式组的解集，然后确定此解集包含着四个整数解，由这些整数解可推断字母的取值范围，解原不等式组，得-3a．由题设条件可知-3a包含着四个整数解，这四个整数解应为，，，．这时，-3a应满足≤-3a，解得≤143．【解答】【点拨】有的学生尽管能顺利地从已知不等式组中解出-3a，但是不明白它的解集中的四个整数解究竟为多少，因而导致受阻．还有的学生干脆从223x中提炼出23x，然后由四个选项中索取不等式组有四个整数解的条件．此思路不但行不通，而且违背了解不等式所运用的基本性质．例（，南昌市）仔细观察图，认真阅读对话：根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？【分析】根据对话找到下列关系：①饼干的标价牛奶的标价元；②饼干的标价；③饼干标价的牛奶的标价元元，然后设未知数列不等式组．【解答】设饼干的标价为每盒元，牛奶的标价为每袋元．则10(1)0.9100.8(2)10(3)xyxyx由（）得（）把（）代入（）得：，解得．由（）综合得．又∵是整数，∴．把代入（）得：×（元）答：一盒饼干标价元，一袋牛奶标价元．【点拨】①解决实际问题时，注意表示不等关系的关键词，如本题中的“有多的”和“不够”；②所求的结果应符合生活实际．例（，江西赣州）某钱币收藏爱好者，想把．元纸币兑换成的分，分，分的硬币；他要求硬币总数为枚，分硬币的枚数不少于枚且是的倍数，分的硬币要多于分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．【分析】这是一道方案设计题，是涉及到方程和不等式联合起来解决的综合应用题．题目中包含的相等关系有：①所有硬币的总价值是．元；②共有硬币枚．不等关系有：①分的硬币的枚数不少于枚；②分的硬币要多于分的硬币．且硬币的枚数为整数，分的硬币的数量是的倍数．【解答】设兑换成分，分，分硬币分别为枚，枚，枚，依据题意，得150,(1)25350,(2),(3)20,(4)xyzxyzzyy由（），（）得将代入（），（）得2004,200420,zzz解得≤，∵为正整数，∴只能取，，，，，由此得出，的对应值，共有种兑换方案．73,76,79,82,85,36,32,28,24,20,41.42.43,44.45.xxxxxyyyyyzzzzz（另解）：设兑换成的分，分，分硬币分别为枚，枚，枚，依据题意可得150,(1)25350,(2)(3)xyzxyzzy∵是的倍数，可设（为自然数），∵≥，∴≥，即≥．将代入（），（）可解得，∵，∴，即．∴≤，又为自然数，∴取，，，，．由此得出，的对应值，共有种兑换方案：73,76,79,82,85,36,32,28,24,20,41.42.43,44.45.xxxxxyyyyyzzzzz【点评】在关系复杂的实际问题中，要注意审题，要找到题目中的所有的相等关系或不等关系，并且要把握其中有些量的隐含条件．◆强化训练一、填空题．（，四川达州）不等式组31011xx的解集是．．（，四川成都）不等式组52(1)1233xxx的整数解的和是．．不等式≤的整数解是．．对于整数，，，，符号abcd表示运算，已知abcd，则的值是．．长度分别为3cm，7cm，的三根木棒围成一个三角形，则的取值范围是．．如果，那么不等式组2xax的解集为；当时，不等式组2xax的解集是空集．．（，山西）若不等式组220xabx的解集是，则（）．．已知关于的不等式组0321xax的整数解共有个，则的取值范围是．．（，苏州）年月日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为元，元和元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg，5kg和8kg．月日，小星和爸爸在该超市选购了只环保购物袋用来装刚买的20kg散装大米，他们选购的只环保购物袋至少应付给超市元．二、选择题．已知，那么下列不等式组中无解的是（）．xaxb．xaxb．xaxb．xaxb．（，义乌）不等式组312,840xx的解集在数轴上表示为（）．（，山东聊城）已知24221xykxyk，且，则的取值范围是（）．12．12．．12．如果不等式组320xxm有解，则的取值范围是（）．32．≤32．32．≥32．若15233mm，化简││││││得（）．．．3m．．不等式组3(2)423xaxxx无解，则的取值范围是（）．．≤．．≥．为了改善城乡人民生产，生产环境，我市投入大量资金治理清水河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水，又从城区流入库池的污水按每小时的固定流量增加．如果同时开动台机组需处理完污水，同时开动台机组需处理完污水．若要求在内将污水处理完毕，那么至少要同时开动机组的台数为（）．台．台．台．台三、解答题．（）（，南京市）解不等式组2(2)33134xxxx，并写出不等式组的整数解；（）（，太原市）解不等式组312(1)2(1)4xxxx，并把它的解集在数轴上表示出来．．（，湖北十堰）某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲，乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量件，这件的总产值（万元）满足：．已知有关数据如表所示，那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？产品每件产品的产值甲万元乙万元．（，湖北省）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分个，则剩下个；如果每人分个，则最后一个儿童分得的橘子数少于个，问共有几个儿童，分了多少个橘子？．（，江苏省）七（）班有名学生，老师安排每人制作一件型和型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作，两种型号的陶艺品用料情况如下表：需甲种材料需乙种材料件型陶艺品0.9kg0.3kg件型陶艺品0.4kg1kg（）设制作型陶艺品件，求的取值范围；（）请你根据学校现有材料，分别写出七（）班制作型和型陶艺品的件数．．（，青岛）年月，北京奥运会帆船比赛在青岛国际帆船中心举行，观看帆船比赛的船票分为两种：种船票张，种船票张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过元的情况下，购买，两种船票共张，要求种船票的数量不少于种船票数量的一半，若设购买种船票张，请你解答下列问题：（）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；（）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？．（，青岛）“五一”黄金周期间，某学校计划组织名师生租车旅游，现知道出租公司有座和座两种客车，座客车的租金每辆为元，座客车的租金每辆为元．（）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（）若学校同时租用这两种客车辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助学校选择一种最节省的租车方案．．（，深圳）某工程，甲工程队单独做天完成，若乙工程队单独做天后，甲，乙两工程队再合作天完成．（）求乙工程队单独做需要多少天完成？（）将工程分两部分，甲做其中的一部分用了天，乙做另一部分用了天，其中，均为正整数，且，，求，．．（，苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4kg蟹苗和20kg虾苗；③每公斤蟹苗的价格为元，其饲养费用为元，当年可获元收益；④每公斤虾苗的价格为元，其饲养费用为元，当年可获元收益；（）若租用水面亩，则年租金共需元；（）水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润收益成本）；（）李大爷现有资金元，他准备再向银行贷不超过元的款，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过元．答案:．≤13．．．或．．，≤．．≤．．．．．．．．．（）不等式组的解集为≤，故其整数解为：，．（）不等式组的解集为≤，数轴上表示如图：．设该公司安排生产新增甲产品件，那么生产新增乙产品（）件，由题意得：．．（）∴403，依题意，得，，当时，；当时，；当时，．所以该公司明年可安排生产新增甲产品件，乙产品件；或生产新增甲产品件，乙产品件；或生产新增甲产品件，乙产品件．．设共有个儿童，则共有（）个橘子，依题意，得≤（）①②解这个不等式组，得≤．因为为整数，所以取．所以×．故共有个儿童，分了个橘子．．（）由题意得0.9(50)0.4360.3(50)29xxxx由①得≥，由②得≤，所以的取值范围是≤≤（为正整数）．（）制作型和型陶艺品的件数为①制作型陶艺品件，制作型陶艺品件；②制作型陶艺品件，制作型陶艺品件；③制作型陶艺品件，制作型陶艺品件．．（）由题意知种票有（）张．根据题意得15,2600120(15)5000,xxxx解得≤≤203．∵为正整数，∴满足条件的为或．∴共有两种购票方案：方案一：种票张，种票张；方案二：种票张，种票张．（）方案一购票费用为×元×元元；方案二购票费用为×元×元（元）．∵元元，∴方案一更省钱．．（）÷≈．∴单独租用座客车需辆，租金为×元．÷≈．，∴单独租用座客车需辆，租金为×元．（）设租用座客车辆，则座客车（）辆，由题意得：4260(8)385,320460(8)3200.xxxx解之得37≤≤518．∵取整数，∴或．当时，租金为××（）元；当时，租金为××（）元．答：租用座客车辆，座客车辆时，租金最少．说明：若学生列第二个不等式时将“≤”号写成“”号，也对．．设乙工程队单独做需要天完成．则×1x（1401x），解之得．经检验，是所列方程的解，所以乙工程队单独做需要天完成．（）甲做其中一部分用了天，乙做另一部分用了天，所以40x100y，即：52，又，，所以570,101.025xx，解之得，所以或，又也是为正整数，所以，．．（）．（）每亩的成本×（）×（）每亩的利润××（元）．（）设应该租亩水面，向银行贷款元，则，即．①根据题意，有25000(1400416020)(25001.08)35000xnx将①代入②，得≤即≤500004900≈将①代入③，得≥，①②③即≥330003508≈，∴（亩），×（元）．答：李大爷