反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理二1.定义：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值是不等于0的一切实数。说明：1）y的取值范围是一切非零的实数。2）反比例函数的解析式也可以写成xy=k；1kxy；xky1（k为常数，k≠0）2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y＝xk只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k的值，从而确定其解析式。3.反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴4.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=－x；对称中心是：原点5.性质:：反比例函数y＝xk（k为常数，k≠0）k的取值k＜0k＞0图像性质a)x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。a)x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。6.反比例函数y＝xk（k≠0）中的比例系数k的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y＝xk（k≠0）上的任意一点P（x,y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形OBPA的面积S=PA·PB=∣xy∣=∣k∣。推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2k7.经典例题考察：1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k（k≠0），那么x与y这两个量成反比例的关系，这里的x、y可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y－1与x+1成反比例，则11xky；若y与x2成反比例，则2xky成反比例关系，x和y不一定是反比例函数；但反比例函数xky（k≠0）必成反比例关系。2）坐标系中的求不规则图形的面积3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题8.实际问题与反比例函数的应用1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关问题，建立反比例函数模型是解决问题的关键。思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函数关系式，并解决问题。2）反比例函数的应用（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积（2）反比例函数在其他学科中的应用，a)物理学中，电压一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，RUIb)当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积v的反比例函数，解析式可以表达为vkc)收音机刻度盘的波长l与频率f关系式:fkld)压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，即SFPe)当汽车输出功率P一定时，汽车行驶速度v与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，FPv(3)反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。注：实际问题中一定要注意自变量x的取值范围。