2019年高考理科全国1卷数学-解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1.已知集合242{60MxxNxxx，，则MN=A.{43xxB.{42xxC.{22xxD.{23xx【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，42,23MxxNxx，则22MNxx．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.22+11()xyB.22(1)1xyC.22(1)1xyD.22(+1)1yx【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),zxyizixyi22(1)1,zixy则22(1)1xy．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log0.2,2,0.2abc，则A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较,ac，运用中间量1比较,bc【详解】22log0.2log10,a0.20221,b0.3000.20.21,则01,cacb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则2626511052xxy，得42.07,5.15xcmycm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f(x)=2sincosxxxx在[—π，π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f2()01f．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C=516，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为3，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．8.如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入A.A=12AB.A=12AC.A=112AD.A=112A【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122Ak是，因为第一次应该计算1122=12A，1kk=2，循环，执行第2次，22k，是，因为第二次应该计算112122=12A，1kk=3，循环，执行第3次，22k，否，输出，故循环体为12AA，故选A．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA．9.记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa，，则A.25nanB. 310nanC.228nSnnD.2122nSnn【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，55a，44(72)1002S，排除B，对C，245540,25850105SaSS，排除C．对D，24554150,5250522SaSS，排除D，故选A．【详解】由题知，41514430245dSaaad，解得132ad，∴25nan，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB││││，1ABBF││││，则C的方程为A.2212xyB.22132xyC.22143xyD.22154xy【答案】B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9nnAFFnnnBFFn，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．【详解】如图，由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin|||sin|fxxx有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2,）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】【分析】化简函数sinsinfxxx，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为偶函数，故①正确．当2x时，2sinfxx，它在区间,2单调递减，故②错误．当0x时，2sinfxx，它有两个零点：0；当0x时，sinsin2sinfxxxx，它有一个零点：，故fx在,有3个零点：0，故③错误．当2,2xkkkN时，2sinfxx；当2,22xkkkN时，sinsin0fxxx，又fx为偶函数，fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数sinsinfxxx的图象，由图象可得①④正确，故选C．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】【分析】先证得PB平面PAC，再求得2PAPBPC，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PAPBPCABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，//EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB平面PAC，2PABPAPBPC，PABC为正方体一部分，22226R，即364466,62338RVR，故选D．解法二:设2PAPBPCx，,EF分别为,PAAB中点，//EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为2的等边三角形，3CF又90CEF213,2CExAEPAxAEC中余弦定理2243cos22xxEACx，作PDAC于D，PAPC，DQ为AC中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又===2ABBCAC，,,PAPBPC两两垂直，22226R，62R，344666338VR，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30xy.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexxexxe所以，/0|3xky所