2017年北大自主招生数学试题及答案

2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题一、试题总体评价1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．二、与高考题的对比1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．14试题及答案三、对考生的建议1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0:5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．四、试题及答案1.已知实数a;b满⾜(a2+4)(b2+1)=5(2ab1)，则ba+1a‹的值为（）A.1:5B.2:5C.3:5D.前三个答案都不对答案C．2.函数f(x)=x2221jxj+jx1j，x2[1;2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2;3)B.(3;4)C.(4;5)D.前三个答案都不对答案B．3.不等式组8:y⩾2jxj1;y⩽3jxj+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对答案C．4.(1+cos5)1+cos35‹的值为（）A.1+1p5B.1+14C.1+1p3D.前三个答案都不对答案B．25.在圆周上逆时针摆放了4个点A;B;C;D，已知BA=1，BC=2，BD=3，\ABD=\DBC，则该圆的直径为（）A.2p5B.2p6C.2p7D.前三个答案都不对答案D．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9;12;15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对答案B．7.已知x为实数，使得2;x;x2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对答案B．8.设整数a;m;n满⾜√a24p5=pmpn，则这样的整数组(a;m;n)的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对答案C．9.设S=1log12+1log13+1log15+1log17;则不超过S且与S最接近的整数为（）A.5B.4C.5D.前三个答案都不对答案A．10.已知复数z满⾜z+2z是实数，则jz+ij的最⼩值等于（）A.p33B.p22C.1D.前三个答案都不对答案D．11.已知正⽅形ABCD的边长为1，P1;P2;P3;P4是正⽅形内部的4个点使得△ABP1，△BCP2，△CDP3和△DAP4都是正三⾓形，则四边形P1P2P3P4的⾯积等于（）A.2p3B.p6p24C.1+p38D.前三个答案都不对答案A．312.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.103;5‹B.5;203‹C.203;20‹D.前三个答案都不对解析C．13.正⽅形ABCD与点P在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且jPAj2+jPBj2=jPCj2，则jPDj的最⼤值为（）A.2+p2B.2p2C.1+p2D.前三个答案都不对答案A．14.⽅程log4(2x+3x)=log3(4x2x)的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对答案B．15.使得x+2x和x2+2x2都是整数的正实数x的个数为（）A.1B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对答案A．16.满⾜f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为（）A.2B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对答案D．17.使得p3+7p2为平⽅数的不⼤于100的素数p的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对答案C．18.函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最⼩值为（）A.1B.1:5C.2D.前三个答案都不对答案A．19.动圆与两圆x2+y2=1和x2+y26x+7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对答案B．420.在△ABC中，sinA=45，cosB=413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对答案A．5