高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxjyixa。向量的模（长度），记作|AB|.即向量的大小，记作｜a|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。（与0的区别）③单位向量｜0a｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a∥b⑤相等向量记为ba。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，奎屯王新敞新疆在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+bABBCAC特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbbabaAABBCC)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。②向量减法：同一个图中画出abab、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若baba则,(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ba，cb，则ca；(7)若ba//，cb//，则ca//(8)ba的充要条件是||||ba且ba//；(9)若四边形ABCD是平行四边形,则DABCCDB,A练习.(四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“AB→＝2DC→”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题型二:考查加法、减法运算及相关运算律例2化简)()(BDACCDAB=练习1.下列命题中正确的是A．OAOBABB．0ABBAC．00ABD．ABBCCDAD2.化简ACBDCDAB得A．ABB．DAC．BCD．03．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.AD→＋BE→＋CF→＝0B.BD→－CF→＋DF→＝0C.AD→＋CE→－CF→＝0D.BD→－BE→－FC→＝0题型三:结合图型考查向量加、减法例3在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．34例4重心、垂心、外心性质练习:1．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→，CE→．2已知abab=求证ab3若O为ABC的内心，且满足()(2)0OBOCOBOCOA，则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→＝()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→－3OB→＋2OC→＝0，则|AB→||BC→|等于________．6．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上ABCDE7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－23题型四:三点共线问题例4设21,ee是不共线的向量,已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB,若A,B,D三点共线,求k的值例5已知A、B、C、P为平面内四点，A、B、C三点在一条直线上PC→=mPA→+nPB→，求证：m+n=1．练习：1．已知：2121212CD,BC),(3eeeeeeAB，则下列关系一定成立的是（）A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线2．(原创题)设a，b是两个不共线的向量，若AB→＝2a＋kb，CB→＝a＋b，CD→＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．第2讲平面向量的基本定理与坐标表示一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的_单位向量_i、j作为基底奎屯王新敞新疆任作一个向量a，有且只有一对实数x、y，BCAOMD使得axiyj…………○1，把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axy…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示奎屯王新敞新疆与a相等的向量的坐标也为),(yx奎屯王新敞新疆特别地，(1,0)i，(0,1)j，0(0,0)奎屯王新敞新疆特别提醒：设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标奎屯王新敞新疆因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示奎屯王新敞新疆3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)axy，22(,)bxy，则ab=1212(,)xxyy，ab=1212(,)xxyy（2）若),(11yxA，),(22yxB，则AB（3）若(,)axy和实数，则a(,)xy4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)其中baa∥b(b0)的充要条件是12210xyxy二．【典例解析】题型一.利用一组基底表示平面内的任一向量[例1]在△OAB中，OBODOAOC21,41，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a,b表示OM.练习:1．若已知1e、2e是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．1e与—2eB．31e与22eC．1e＋2e与1e—2eD．1e与21e2．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.题型二:向量加、减、数乘的坐标运算例3已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CACM3,CBCN2,求点M、N的坐标及向量MN的坐标.练习:1.(2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．(2，72)B．(2，－12)C．(3,2)D．(1,3)2．若M(3,-2)N(-5,-1)且12MPMN,求P点的坐标；3．若M(3,-2)N(-5,-1)，点P在MN的延长线上，且12MPMN,求P点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a=,1x（），b=2,xx（－），则向量ab()A平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG→＝2GD→，则点C的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)7．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于C，且AC→＝2CB→，则实数a等于()A．2B．1C.45D.53题型三:平行、共线问题例4已知向量(1sin,1)a，1(,1sin)2b，若a∥b，则锐角等于（）A．30B．45C．60D．75例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),abckabkRdab，如果//cd那么()A．1k且c与d同向B．1k且c与d反向C．1k且c与d同向D．1k且c与d反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及ABtOAOP，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为()A．－1B．－12C.12D．14．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn等于()A．－12B．2C.12D．－25．已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()A．m≠－2B．m≠12C．m≠1D．m≠－16．已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。题型四：平面向量综合问题例6．已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量(,)mab，(sin,sin)nBA，(2,2)pba.（1）若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若m⊥p，边长c=2，角C=3，求ΔABC的面积.练习已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C、D的坐标和CD→的坐标．第三讲平面向量的数量积及应用一．【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0≤≤180。（2）数量积的概念非零向量a与b，a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）。规定00a；向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.C注意：⑴只要a⊥b就有a·b=0，而不必a=0或b=0．⑵由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c．得|a|·|b|cosθ1=|a|·|c|cosθ2及|a|≠0，只能得到|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、c在a方向上投影相等，而不能得出b=c(见图)．⑶(a·b)c≠a(b·c)，向量的数量积是不满足结合律的．⑷对于向量a、b，有|a·b|≤|a|·|b|，等号当且仅当a∥b时成立．（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||aaaa。②乘法公式成立2222abababab；2222abaabb222aabb；③向量的夹角：cos=cos,ababab=22222