学业水平测试数学复习教案--第17课时-直线的方程及应用

学业水平测试数学复习学案第17课时直线的方程及应用一．知识梳理1．倾斜角：直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为,0。2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan1212xxyy（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。3．直线方程的五种形式：必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk——斜率b——纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)——直线上已知点，k——斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1a——直线的横截距b——直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0BA，AC，BC分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零4．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。5．两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)间的距离公式：|P1P2|=221221)()(yyxx。6．点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式：2200||BACByAxd。7．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1,l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(1CC).二．课前自测1、过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A）（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=02、过点)3,2(P，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是10320或xyxy3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为42或yxyx4.无论k取任何实数，直线14232140kxkyk必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）5.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=0三．典例解析【例1】一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝41，tanθ＝tan2α＝158，从而方程为8x－15y+6=0（2）设直线方程为ax＋by＝1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得a3＋b2＝1≥2ab6，得ab≥24，从而S△AOB＝21ab≥12，此时a3＝b2，∴k＝－ab＝－32点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值【练习1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有4303(2)5(4)50abab，解得25ab直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.解法二由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝nm，∵A,B两点分别l1和l2上，∴4(1)(2)303(1)5(2)50mnmn，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。【例2.】已知两条直线1l:x+m2y+6=0,2l:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,1l与2l（1）相交；（2）平行；（3）重合？分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0时，1l：x＋６＝０，2l：x＝０，∴1l∥2l，当ｍ＝2时，1l：x＋４y＋６＝０，2l：３y＋２＝０∴1l与2l相交；当m≠０且m≠２时，由mmm3212得m＝－１或m＝３，由mm2621得m＝3故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时1l与2l相交。（２）m＝－１或m＝０时1l∥2l，（３）当m＝３时1l与2l重合。点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.【练习2】已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线1l：x+y+1=0和2l：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。分析：可以求出直线l与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率解法一：:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与1l、2l的交点分别是A1（3，-4）和B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k（x-3）+1，解方程组1031xyykx得A（,123kk－114kk）解方程组6031xyykx得B（173kk，－119kk）由|AB|=5得2323711kkkk+2419111kkkk=25，解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。综上可知，所求l的方程为x=3或y=1。解法二.设直线l与1l、2l分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5①又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25②联立①②，可得121250xxyy或121205xxyy由上可知，直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.【练习3】.已知三角形ABC的三边方程分别为AB:43100xy，BC:20y，CA:3450xy.求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程.解：（1）AB边上的高斜率为34且过点C，解方程组203450yxy得点C（133，2）所以AB边上的高方程为34210xy.（2）设P,xy为∠BAC的内角平分线上任意一点，则222243103454334xyxy解得7750xy或150xy，由图形知7750xy即为所求.