最全版导数专题精华知识点总结——理科

1专题：导数知识点总结一、导数的定义1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．二．基本初等函数的导数公式三、.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf（4）)()(xfcxCf（6）、复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．四．导数的几何意义(1)函数f(x)在x0处的导数f'(x0)是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f'(x0).用好这个条件是解决切线问题的关键，不知道切点时要先设切点．注：（1）曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．五、.函数的导数与单调性的关系1、函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f'(x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f'(x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f'(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是常数函数.求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．2、.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．[方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法3研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根,求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．当我们无法判段导函数的符号时，有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．4．用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)0(或f′(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．5、根据函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：（1）利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．（2）转化为恒成立或存在性问题处理①若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增，转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立求解．②若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立求解．③若函数y＝f(x)在(a，b)上单调，转化为f′(x)在(a，b)上不变号即f′(x)在(a，b)上恒正或恒负．④若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，转化为f′(x)在(a，b)上变号．存在极值点⑤函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)0(或0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．六.函数的极值与导数的关系1．判断函数极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．“极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1即为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．七、.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点①设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且最值在极值点或端点处取得.②若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1xf′(x)0(0)可解先确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间f′(x)＝0可解先确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间f′(x)0(0)及f′(x)＝0不可解先确定函数的定义域，当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间2极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（3）求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.八.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)0(或f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,则可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.九、导数的综合应用题型一：利用导数研究与不等式有关的综合问题（一）对于含有参数的恒成立问题或存在性问题常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题。常有以下几种考虑途径：(1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，转化为最值问题；(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如：要使不等式()0fx恒成立，可求得()fx的最小值ha，令0ha即可求出a的范围．(3)如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a0，Δ0或a0，Δ0)求解．必记结论：恒成立问题1.∀x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA；2.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)maxA.3.∀x∈D,均有f(x)g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)0，∴F(x)min04.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，∴F(x)max﹤0二次函数恒成立问题类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或存在性问题（不等式或方程有解问题）1.∃x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x)maxA；2.2.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x)minA3.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)max04.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)min05.∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)min6.∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)max7、方程有解问题∃x∈D，c＝g(x)有解，可以转化为c∈{y|y＝g(x)}，即c的范围为函数g(x)在区间D上的值域。8.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则即等价于“函数f(x)在区间D上的值域”“函数g(x)在区间E上的值域”含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略（分步考虑法）(1)∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值g(x)在[c,d]上的最大值.(2)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值g(x)在[c,d]上的最小值.(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c