复变函数6.3-辐角原理及其应用

6.3辐角原理及即应用6.3.1对数留数6.3.2辐角原理6.3.3儒歇定理1()2()Cfzdzifz定义：形如积分称为f(z)的对数留数主要作用：推出辅角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.)()('zfzf6.3.1对数留数对数留数因此而得名1ln(())2Cdfzi证如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理6.4(1)设a为f(z)的n级零点(极点）,'()Re()zafzsnfz(2)设b为f(z)的m级极点()()(),nfzzagz1'()()()()'(),nnfznzagzzagz()()fzfza必为函数的一级极点,且必为函数的一级极点,且()()fzfz'()Re()zbfzsmfz其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是(2)如b为f(z)m级极点在点b的去心邻域内有'()'()()().fzgznfzzagz在点a的邻域内解析,'()()gzgz1'()Re()zafzscnfz的一级极点,且()()()mhzfzzb()'().()()fzmhzfzzahz'()()fzfza必为h(z)在点b的邻域内解析,且h(b)≠0.1()()()()()mhzzbmhzfzzb'()()hzhz在点b解析的一级极点,且故b为()()fzfz'()Re()zafzsmfz定理6.9设C是一条围线,f(z)合条件:12()(,)(,),()CfzdzNfCPfCifz(6.26)证由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内部的不同零点,其阶数相应地为nk;bj(j=1,2,…,q)为f(z)在C内的不同极点,其阶数相应地为mj,(1)f(z)在C内部除可能有极点外是解析的;(2)f(z)在C上解析且不为零则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数即：f(z)在C内是亚纯的(2)可改为f(z)在C上连续且不为零特别注意几阶算几个.在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的.()()fzfz1112()()()ReRe()()()kjpqCzazbkjfzfzfzdzssifzfzfz11()(,)(,)pqkjkjnmNfCPfC故由留数定理6.1,及引理6.4得则根据引理(6.4)知,例计算积分91041||zzIdzz910101044111101||||()zzzzIdzdzzz12100210()ii∆Cargf(z)表示z沿C之正向绕行一周时argf(z)的改变量2(,)(,)arg().cNfCPfCfz(6.27)特别说来,如f(z)在周线C上及C之内部均解析,且f(z)在C上不为零,则(6.28)6.3.2辐角原理(2)f(z)在C内是亚纯的(3)f(z)在C上连续且不为零(1)C是一条周线辅角原理2arg()(,).cfzNfCxyOuvOw=f(z)1122()dln()d()dCCfzdzfzzifziz12dln()Cfzi12[d|ln()|Cfzidarg()]Cifz000dln|()|ln|()|ln|()|Cfzfzfz10darg()arg()CCfzfz1222arg()()arg()()CCCfzfzidzfzifzi例6.21设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C:|z|=3,试验证辐角原理argf(z)=arg((z-1)(z-2)2(z-4))N(f(z),C)=3argf(z)=arg(z-1)+arg(z-2)2+arg(z-4)=arg(z-1)+2arg(z-2)+arg(z-4)xyOuvOw=z-1|w+1|=3|z|=3w=z-2|w+2|=3w=z-4|w+4|=3=6622arg()Cfz例6.22设n次多项式p(z)=a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面Rez0内的充要条件是:()arg()yPiynRiRiCRROxyR22:ieRzRe,RRCRiRi02arg(())(,)()RCRPzNPCR0limarg(())RCRPz()limarg(())limarg(())yRRRRRPzPiy01limarg(())limarg(())RRnRRPzazgzP(z)的全部零点在左半平面内01limarglimarg(())RRnRRazgzn()limarg(())yRRRPiyn()arg(())yPiyn定理6.10(儒歇(Rouche)定理)).,(),(CfNCfN证由假设f(z)与f(z)+(z)在C内部解析,且连续到C,在C上有|f(z)|0,及.0|)()(||)()(|zzfzzf6.3.3儒歇(Rouche)定理设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,|f(z)||(z)|f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多的零点,即).(arg)]()(arg[zfzzfcc(6.30)由关系式1()()()()()zfzzfzfz(6.31)这样一来,这两个函数f(z)与f(z)+(z)都满足定理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是由(6.28),下面只须证明1()arg[()()]arg()arg()ccczfzzfzfzC0z1()()zfz图6.1410()arg.()czfz根据条件(2),当z沿C变动时.1|)()(|zfz将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,1()()zfz借助函数20arg1即是说,点不会围着原点=0绕行.11()()zfz全在圆周|-1|=1的内部.推论1:设n次多项式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0）满足条件：|at||a0|+…+|at-1|+|at+1+…+|an|则p(z)在单位圆|z|1内有n-t个零点证：令f(z)=atzn-t,(z)=a0zn+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1+…+an则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位圆周|z|=1上有：|f(z)|=|at||a0|+…+|at-1|+|at+1+…+|an|≥|(z)|由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多的零点，即为n-t个推论2:n次方程(p(z)=)a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）1.首先证明存在R0，有n个根R方程在圆|z|R内恰有n个根，证明思路2.其次证明，对z0|z0|=R0≥R，均有|p(z0)|0无根证明1.令，f(z)=a0zn,(z)=a1zn-1+…+an=0则当|z|=R时，|(z)|≤|a1zn-1|+…+|an|=|a1|Rn-1+…+|an-1|R+|an|≤(|a1|+…+|an-1|+|an|)Rn-1|a0|Rn=|f(z)|取R1限定|a1|+…+|an|≤|a0|R所以只要取101||||max,||naaRa有:当|z|=R时,|f(z)||(z)|,f(z),(z)在|z|≤R上解析N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n即：N(p(z),C)=n2.z0:|z0|=R0≥R，需证:|p(z0)|0|(z0)||a1z0n-1|+…+|an|=|a1|R0n-1+…+|an-1|R0+|an|(|a1|+…+|an-1|+|an|)R0n-1|a0|R0n=|f(z0)||p(z0)|=|f(z0)+(z0)||f(z0)|-|(z0)|0p(z0)=a0z0n+a1z0n-1+…+an0定理6.11如函数f(z)在D内单叶解析则在D内f(z)≠0.证:(反证法)若有D的点z0使f(z0)≠0,则z0必为f(z)-f(z0)的一个n级零点(n≥2).由零点的孤立性,故存在0,使在圆周C:|z-z0|=上:f(z)-f(z0)≠0,在C的内部,f(z)-f(z0)及f/(z)无异于z0的零点.命m表|f(z)-f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定理即知,当0|-a|m时,f(z)-f(z0)-a在圆周C的内部亦恰有n个零点.但这些零点无一为多重点,理由是f/(z)在C内部除z0外无其他零点,而z0显然非f(z)-f(z0)-a的零点.故命z1,z2,…,zn表f(z)-f(z0)-a在C内部的n个相异的零点.于是f(zk)=f(z0)+a(k=1,2,…,n).这与f(z)单叶性假设矛盾.故在区域D内f(z)≠0.