网格中的三角函数

网格中的三角函数【构造直角】例：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin∠ABP变式1：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，求tan12∠BAP的值。变式2：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，求tan2∠BAP的值1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA的=______________.【解析】如图，过点C作CE⊥AB，则AsinACCE=52CE，利用等积法，可知CEAB21ADBC21，∴CE5221232221，∴556CE，∴Asin5352556【等角转换】2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．【解析】思路一：构造直角连接BE，由四边形EDBC为正方形可知，CD⊥BE，∴tan∠APD=tan∠BPF=PFBF，设小正方形边长为2（可自己思考一下为什么？），可得BF=1，CD=2，由△APC∽△BPD，且相似比为3：1可得3DPPC，∴43CDPC，∴PC=432=23，∴PF=PC—CF=21，∴tan∠BPF=2211思路二：角度转换连接BE，可知BE∥CD，∴∠APD=∠BPF=∠ABE，连接AE，∵AE和BE均为正方形对角线，易得AE⊥BE，∴tan∠ABE=2BEAE3.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则PBAP的值=，tan∠APD的值=．4.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是_________.5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是________.6.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为．7.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．8.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为_________．9.如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B、C、D都在网格的格点上，AC、BD相交于点O．10.（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，连接AD，则∠ADO=90°，BO=2DO，AD=2，BO=232，tan∠AOD=_________．如图2，当AB=3时，画AH⊥BD交BD的延长线于H，则AH=223，BO=________，tan∠AOD=________．如图3，当AB=4时，tan∠AOD=__________．（2）猜想：当AB=n（n＞0）时，tan∠AOD=______________．（结果用含n的代数式表示），请证明你的猜想．（二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD、CG在同一直线上，连接CF、DE相交于点O，若tan∠COE=1317，求正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比．【解析】（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，∵BO=2DO，BO=232，∴OD=32，又∵∠ADO=90°，AD=2，∴tan∠AOD=322ODAD=3，即tan∠AOD=3．如图2，设DCBE为正方形，连接CE，交BD于F．∵四边形BCDE是正方形，∴DF=CF=BF=21BD=21CE，BD⊥CE．根据题意得：AB∥DC，∴△AOB∽△COD，∴DO：BO=CD：AB．当AB=3时，DO：BO=1：3，∴BO=423．∵S△ABD=21BD•AH=21AB•ED，∴BD•AH=AB•ED，∴AH=22323BDEDAB，DO：BO=CD：AB=1：3，∴DO：DF=1：2，∴OF：DF=1：2，即OF：CF=1：2．在Rt△OCF中，tan∠COF=OFCF=2，∵∠AOD=∠COF，∴tan∠AOD=2；如图3，当AB=4时，DO：BO=CD：AB=1：4，∴DO：DF=1：2.5=2：5，∴OF：DF=3：5，即OF：CF=3：5．在Rt△OCF中，tan∠COF=35OFCF，∵∠AOD=∠COF，∴tan∠AOD=35；故答案是：3；423；2；35；（2）猜想：当AB=n（n＞0）时，tan∠AOD=1-n1n（结果用含n的代数式表示）．证明：过点A作AH⊥BH于点H，则AH=BH=22n．∵AB∥OD，∴△AOB∽△COD，∴1nCDABODOB，∴OB=1nn2．∴OH=BH﹣OB=22n﹣1nn2．∴tan∠AOD=1-n1n；故答案是：1-n1n；（二）解决问题（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOH=HODH．∵∠DOH=∠COE，∴tan∠DOH=1317，又由（一）结论得：13171-n1n，∴n=215∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为215．强化训练11.阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα=，tanβ=，求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC．（1）观察图象可知：α+β=°；（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=3，tanβ=时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠MON的度数．12.问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．13．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长等于；（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．15．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）请在网格中找一个格点P，连接PB、PC，使∠BPC=∠BAC，并简要说明理由；（2）直接写出此时tan∠BPC的值．16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A点B在网格中的位置如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A点B的坐标分别为（1，2）（4，3）；（2）点C的坐标为（3，6），在平面直角坐标系中找到点C的位置，连接AB、BC、CA，则∠ACB=°；（3）将点A、B、C的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，在图中找到点A1、B1、C1并顺次连接点A1、B1、C1，得到△A1B1C1，则这两个三角形关于对称．17．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，格点O为原点，格点A的坐标为（﹣1，3）．（1）画出点A关于y轴对称的格点B，并写出点B的坐标（，）；（2）将线段OA绕着原点O顺时针旋转90°，点A落在格点C处，画出线段OA扫过的平面区域（用阴影表示），则AC的长为；（3）过点C作AC的切线CD，D为格点，设直线CD的解析式为y=kx+b，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）（4）连接BC，则tan∠BCD的值等于．