第十四章《三角形》单元复习

第十四章《三角形》单元复习一、知识系统二、题型举例（一）三角形三边的关系例1若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是；当周长为奇数时,第三边长为．分析：三角形的一边小于其他两边的和.大于其他两边的差。已知的两边是一奇一偶，当周长为奇数时，第三边长为应为偶数。解：第三边长c的取值范围是95c当周长为奇数时，第三边长为7（二）三角形的内和定理例2如图，若∠A＝70°，∠ACD＝40°，∠ABE＝30°，求∠BDC、∠BFC的度数．分析：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。∠BDC是△ADC的一个外角，和它不相邻的两个内角是∠A和∠ACD，它们度数分别是70°和40°。所以∠BDC＝70°+40°＝110°。解：因为∠BDC＝∠A+∠ACD∠1＝∠2又因为∠A＝70°，∠ACD＝40°（已知）所以∠BDC＝70°+40°＝110°（等量代换）因为∠BFC∠BDC+∠ABE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠ABE＝30°（已知）所以∠BFC＝110°+30°＝140°（等量代换）例3如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠BAC＝63°,求∠DAC的度数.分析：本题不能直接用内角和等于180°或外角等于不相邻的两个内角的和这两个定理三角形等腰三角形全等三角形三角形的基本概念三角形的定义三角形三边的关系内角和和定理全等三角形的性质等腰三角形的定义全等三角形的定义全等三角形的判定ABCDEFCABD1234等腰三角形的判定等腰三角形的性质量三角形中的主要线段得到∠DAC的度数.但可以设∠1＝∠2＝x.则∠3＝∠4＝2x.∠BAC＝x+63°△ABC的三个内角分x、2x、63°。它们的和为180°，得到一元一次方，方程的解就是∠1的度数，从而求出∠DAC的度数.解：因为∠3＝∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠1＝∠2（已知）所以∠3＝2∠1设∠1＝∠2＝x.则∠3＝∠4＝2x.∠BAC＝x+63°因为∠2+∠4+∠BAC＝180°（三角形的内角和等于180°）所以x+2x+63°＝180°解得x＝39°即∠1＝39°所以∠DAC＝∠BAC-∠1＝63°-39°＝24°反思：.几何中的计算题，也可以用方程的思想解决。有些题只能用方程来解。（三）全等三角形性质和判定例4已知：如图，点A、E、F、D在同一条直线上，AE＝DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为F、E，BF＝CE.说明：AB＝DC.分析：此题需要先证明三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到AB＝DC.证明三角形全等需要三个条件，这些条件往往不是直接已知的，而是要根据已知的条件通过推理得到，这一过程必须先做。解：因为BF⊥AD，CE⊥AD（已知）所以∠AFB＝∠DEC＝90°（垂直的意义）因为AE＝DF（已知）所以AE+EF＝DF+EF（等量加等量和相等）即AF＝DE在△ABF与△DEC中）DE（AF）CE(BF已证已证已知）DEC（AFB所以△ABF≌△DEC（S.A.S）所以AB＝DC（全等三角形的对应边相等）（四）等腰三角形性质和判定例5如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，点D、E在BC上，试说明△ADE是等腰三角形．分析：本题不必说明三角形全等。用等腰三角形的性质和判定来说明，思路简洁。解：因为AB＝AC（已知）所以∠BAD＝∠CAEB＝∠C（等边对等角）因为∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）又因为∠BAD＝∠CAE（已知）所以∠ADE＝∠AED（等量代换）所以AD＝AE（等角对等边）ABCDEFABCDE所以△ADE是等腰三角形（等腰三角形的意义）例6如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，联结BD，延长BC至E，使CE＝CD，联结DE．(1)∠E等于多少度？（2）说明DB与DE相等的理由．解：（1）因为△ABC是等边三角形(已知)，所以∠ACB＝60°(等边三角形性质).因为CE＝CD（已知）,所以∠E＝∠EDC（等边对等角）.因为∠ACB＝∠E+∠EDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,所以∠E＝30°.（2）因为△ABC是等边三角形，所以AB＝CB，∠ABC＝60°(等边三角形性质)．因为D是AC的中点，所以∠ABD＝∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）因为∠E＝30°（已证），所以∠E＝∠DBC（等量代换）．所以DB＝DE（等角对等边）．三、同步练习（一）、填空题：1.指出下列每组线段能否组成三角形图形：（1）a＝5,b＝4,c＝3（2）a＝7,b＝2,c＝4（3）a＝6,b＝6,c＝12（4）a＝5,b＝5,c＝62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，它的周长是。3.三角形三边为3，5，a，则a的范围是。4.三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。5.等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为6.已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长a的范围是7.在△ABC中，已知：∠A＝32.5°，∠B＝84.2°，∠C的度数。8.在△ABC中，已知：∠A＝50°，∠B比∠C小15°，∠B的度数是9.直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于度。10.△ABC中，∠A＝∠B+∠C，这个三角形是三角形。11.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠B＝12.△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，则与∠C相邻的外角等于13.如图所示，∠CAB的外角等于120°,∠B等于40°,则∠C的度数是.,BCEAD12040CBA（二）、阅读并填空：14．如图，△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，点D、E在边BC上，求△PDE的周长。解：∵BP平分∠ABC（已知）∴∠ABP＝∠（）∵PD∥AB（已知）∴∠ABP＝∠（）∴∠＝∠（）∴＝（）同理：PE＝CE∴C△PDE＝P+DE+PE＝BD+DE+CE＝BC＝5cm（三）、计算题：15．如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1＋∠2＝260°，求∠A的度数．（四）、说明理由16．如图，已知点B、D在直线AE上，AC//DF，∠C＝∠F，AD＝BE，试说明BC//EF的理由．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1＝∠B，AD＝DE.说明：△ADB≌△DECABCDEPABCDEFABCDE123ABC2118．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，联结AF，试判断AF与CD的位置关系，并说明理由。四、能力渗透1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，求∠A的度数。2．.如图，在△ABC中，AM＝CM，AD＝CD，DM//BC，判断△CMB的形状，并说明理由．ABCFDECDABMBPNMCABDFEAEBFDC3．如图1，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD．（1）试说明AE＝BD的理由．（2）如果把“点B、C、E在一直线上”改写成“点B、C、E不在一直线上”（如图2），其余条件不变，那么“AE＝BD”是否还能成立？请说明理由．4、如图，有两张全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF），将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。（1）试说明AB⊥ED的理由；（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的所有全等三角形，选择一对说明你的理由。五、课外延伸1.已知△ABC≌△A′B′C′,△ABC的三边为3、m、n,△A′B′C′的三边为5、P、Q,若△ABC的各边都是整数,则m+n+p+q的最大值为__________.2.如图△ABC≌△EBD,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明,若不相等说出为什么?ABCDEABCDEBAE21FCDO3.阅读下列材料:如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置.像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.ABCDE（1）ABCD（2）ABCDE（3）ABC（4）DEF参考答案及提示：三、同步练习1．（1）（4）能，（2）（3）不能。2．27cm。3．2＜a＜8。4．25cm5．5．56．A＞37．63．38．57．5°9．45°10．直角三角形11．60°12．100°13．80°14．DBP角平分线意义DPB两直线平行，内锚角相等到DBPDPBPD＝BD15．设∠A的一个外角为∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝360°（三角形的外角和等于360°）。所以∠A＝100°16．由AD＝BE得AB＝DE，可得△ABF≌△DEC（A.A.S）从而∠ABC＝∠DEF，得BC//EF。17．由∠ADC＝∠B+∠3（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,得∠2＝∠3.18．垂直.△ABC≌△AED（S.A.S）.AC＝AD.由等腰三角形的三线合一得AF⊥CD