结构动力学哈工大版课后习题解答

第一章单自由度系统-1-第一章单自由度系统1.1总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律Fxm,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理JM,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U；（2）由格朗日方程LLdt)(=0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即0)(dtUTd，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值iA、1iA。（2）由对数衰减率定义)ln(1iiAA，进一步推导有212，结构动力学作业-2-因为较小，所以有2。方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：单自由度系统的幅频曲线（2）分析以上幅频曲线图，得到：4/22/max2,1；于是221)21(n；进一步222)21(n；最后nn2/2/12；1.3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励tFsin0作用下其稳态响应为：)sin(tAx,其中：222222020414stnxnmFA；(1)21/2arctan(2)第一章单自由度系统-3-从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比。方法二：功率法：（1）单自由度系统在tFsin0作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为0cW、阻尼力做功为2AWcd、激振力做作功为sin0FWf；（2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即：cW+dW+0fW；于是sin0F-02Ac进一步得：cFAsin0；（3）当n时，1sin，则2maxstxA，得21max,max2。1.4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。（a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、简支梁刚度为2348EIkl；等效刚度为k;则有21111kkk；则固有频率为：mlkEIEIlmk3134848；（b）此系统相当于两个弹簧并联,等效刚度为:3148lEIkk;1k则固有频率为:33148mlEIlkmkm2l2l1k图1-33（a）图1-33（b）2l2l1km结构动力学作业-4-(c)系统的等效刚度113333EIEIkkkll则系统的固有频率为3133klEIkmml（d）由动量距定理00IFm得：（lkllkl2121212111）=221ml得：021mk，则mk21。1.5求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.解：以为广义坐标，则系统的动能为2022121IxmTTT）（轮子重物2222244)21(21221xgPxgPRxRgPxgP）（22xgP系统的势能为：212UUUPxkx重物弹簧－；拉格朗日函数为L=T-U;由拉格朗日方程0)(xLxLdt得PxkxPg1km1k图1-33（c）2l2l1k1k图1-33（d）m图1-34AB0x第一章单自由度系统-5-则，0=Pkg所以：系统的固有频率为Pkg1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K。解：磙子作平面运动，其动能T=T平动+T转动。22221;211;222TMxxMRxTIRR平动转动222434121xMxMxMT；而势能221KxU；系统机械能CKxxMUT222143;由0UTtdd得系统运动微分方程023KxxM；得系统的固有频率MKn32；1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,解：由齿轮转速之间的关系BBAArr得角速度ABABrr；转角ABABrr；系统的动能为：x图1-35kRM结构动力学作业-6-222121BBAABAJJTTT22222241221221AABABBBAAArmmrmrmT；系统的势能为：222222221212121ABABABBAABBAArrKKKKKKU;系统的机械能为CrrKKrmmUTABABAAABA222222141；由0UTtdd得系统运动微分方程021222ABABAAABArrKKrmm；因此系统的固有频率为：BABABAAABABABAnmmrrKKrrmmrrKK22222212；1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为l，质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系数为C，求当初始条件000时（１）tFtfsin)(的稳态解；（２）tttf)()(的解；解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程222()2222llllJckftk；而222222212llllmmlJrdmrdrl；得222366()mlclkllft；化简得D（c）AB图1-36C()ftcc2l2lkk第一章单自由度系统-7-366()ckftmmml(1)(1)求tFtfsin)(的稳态解；将tFtfsin)(代入方程（1）得366sinckFtmmml（2）令23662;;;nckFnhmmml得thnnsin22（3）设方程（3）的稳态解为)sin(tAx（4）将（4）式代入方程（3）可以求得：2222222226469nhFAnlkmc；222236nncarctgarctgkm；(2)求)()(ttf的解；将)()(ttf代入方程（1）得366()cktmmml（5）令23662;;;ncknhmmml得)(22thnn（6）方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励)(th的响应。由方程（6）可以得到初始加速度)(0th；然后积分求初始速度htdthtdthtd00000000)()(；再积分求初位移0)000000tdhtd；这样方程（6）的解就是系统对于初始条件0、0和0的瞬态响应tAexdtnsin；结构动力学作业-8-将其代入方程（6）可以求得：;0;dmhA最后得temhtAexdtnddtnsinsin1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，由机械能守恒定理2021mVmgH的振子的初速度gHV20；底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度gHV20的主动隔振系统的运动微分方程为：0KxxCxm；或;0xmKxmCx或;022xxnxn系统的运动方程是对于初始条件的响应：tAexdtnsin；dddngHxxxxA2020020；0000xxxarctgnd；;sin2tgHxdd1.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：)()(11yycyykym其中：y表示路面波动情况；y1表示汽车上下波动位移。将其整理为：11yckykyycym(1)将)sin(athy代入得k/2cmk/2H图1-38k/2ck/2y(t)ymy图1-39第一章单自由度系统-9-)sin()cos(atkhatachkyycym(2)汽车振动的稳态解:设稳态响应为：)sin(atAy代入系统运动微分方程（1）可解得：hcmkckA222222)(2；))(tan(2223cmkkmcacra；1.11.若电磁激振力可写为tHtF02sin)(，求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：10))sin()cos((2)(iiitibtiaatF其中：dttitFTaTi0)cos()(2；TidttitFTb0)sin()(2因为)(sin)(02tHtF是偶函数，所以0ib。于是)2cos(22)(0tHHtF而)2/2sin(2)(0atAkHtx；式中20220216)4(2nmHAn；20242arctannna；mkmcnn2,2结构动力学作业-10-1.12.若流体的阻尼力可写为3xbFd,求其等效粘性阻尼。解：（1）流体的阻尼力为3xbFd；（2）设位移为)cos(tAx，而tdxdx；（3）流体的阻尼力的元功为)(3tdxxbdxFdWdd；（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：34434[cos()]34dWFdxbxdxbxdtbAtadtbA（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：2cA（6）等效粘性阻尼：取n，令4343Abn2Aceqn