必修2立体几何复习

立体几何复习小结沿河民族中学：阚辉知识框架一、空间几何体的结构棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台简单组合体柱体锥体台体球体棱柱概念性质斜棱柱直棱柱正棱柱*其他棱柱侧面积体积hsv底柱注：四棱柱-平行六面体-直平行六体-长方体-正四棱柱-正方体四棱柱四棱柱直四棱柱侧棱垂直底面平行六面体底面是平行四边形长方体正四棱柱正方体侧面垂直底面棱锥概念性质侧面积正棱锥*一般棱锥'21chs正一般棱锥侧面积求各面面积之和体积shv31锥注：解题中应灵活运用三棱锥（可以任意换底）的特殊性，处理问题。棱锥棱锥正四棱锥正三棱锥正四面体体积V＝Sh/3顶点在底面正多边形的射影是底面的中心多面体定义体积*(转化思想)分类四面体、五面体等凸（凹）多面体等球定义表面积体积.o4S2R34V3R正方体的内切球和它的外接球“三视图”回顾与思考侧视图俯视图画一个物体的三视图时,正视图,侧视图,俯视图所画的位置如图所示,且要符合如下原则:长对正,高平齐,宽相等.长高宽正视图1、从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形。三视图表达的意义2、从上向下正对着物体观察，画出俯视，布置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形。3、从左向右正对着物体观察，画出左视图，布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形。三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。三、空间几何体的表面积和体积圆柱的侧面积：2Srl圆锥的侧面积：Srl圆台的侧面积：()Srrl球的表面积：24SR柱体的体积：VSh锥体的体积：13VSh台体的体积：1()3VSSSSh球的体积：343VR面积体积求体积时常用的方法直接法割补法变换法根据条件直接用柱体或锥体的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得直线与平面平面平面的概念和性质及三个推论空间两条直线平行直线公理4异面直线判定定理所成的角距离相交直线等角定理空间直线与平面线在面内线面平行判定定理、性质定理线面间距离线面相交斜交线面成角直交判定、性质定理、点到面的距离空间两个平面平行判定、性质定理两平面间的距离相交直交判定、性质定理斜交二面角及平面角一、复习导航DBC二、典例探讨线平行线线平行面面平行面线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质三种平行关系的转化平行问题判定定理：•平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该与此平面平行。ba,,////ababa符号语言:且性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行ab性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理的应用。定理中的三个条件作用：证明线线平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行面面平行的判定定理aβ，bβ，a∩b=P，a，bβ符号表示：αβabP线面平行面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。若α//β，α∩γ=b，β∩γ=a则a//b面面平行线线平行ba由平面与平面平行，你可以得到其它性质吗？线垂直线线垂直面面垂直面线面垂直判定线面垂直定义面面垂直判定面面垂直性质三种垂直关系的转化垂直问题一．直线与平面垂直的定义若直线和平面内的任意一条直线都垂直l则称直线与平面互相垂直l直线叫做平面的垂线l平面叫做直线的垂面l直线与平面的交点叫垂足l若一条直线与一个平面垂直，则平面内所有直线都与已知直线垂直。一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直。二．直线与平面垂直的判定定理符号语言：两条相交直线mnPαl这两条相交直线m、n是否和已知直线l有公共点是无关紧要的若mα，nα，l⊥m，l⊥n，m∩n=P，则l⊥α∩∩mn已知：a//b，a⊥α求证：b⊥αbaα2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。证明：在平面α内作两条直线m、n相交于P∵a⊥α∴a⊥m，a⊥n又a//b∴b⊥m，b⊥n且mα，nα，mn=P∴b⊥α∩∩∩P1、若直线和平面垂直，则直线与平面内任一条直线都垂直。三、直线与平面垂直的性质定理3、变式：已知a与b是异面直线，且求证：m//n.mn.,,,bnanbmamba'bo平面角是直角的二面角叫直二面角．两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．四、面面垂直的定义判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示:AB⊥β,AB⊂α则α⊥β线面垂直⇒面面垂直5、面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面ABBCDABCDABABCD求证：且，已知：,ABCDBEBCDBECDABBEABCDABECDBE,,,又知，由的平面角是二面角则内过点作证明：在CDABEaaa,求证：，，已知：PP结论：两个平面垂直，过一个平面内一点作另一平面的垂线，则该线在这一平面内abaapabcbp,重合应与直线直线垂直线与平面经过一点只能有一条直，，而，作直线内在平面过点＝证明：设C面面垂直的性质定理2.//求证：，，，且、、已知平面面面垂直的性质定理3PCDMNPDACDMNPADMNPCABNMABCDPA平面求证：若）求证（平面）求证：（的中点分别是所在平面，矩形：如图所示，例45)3(;:2;//1,,1PABCDMNKoL名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBAAαβLBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是的角。角度问题空间角的计算（1）异面直线所成角平移转化法（2）斜线与平面所成角射影转化法（3）平面与平面所成角平面角法在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：（1）AD1和BD所成的角；（2）AD1和面BDD1B1所成的角；（3）二面角C1-BD-C的正切值。OABCDA1B1D1C1//:,//1EFFDCFEBAECDABFEDBCA求证上且，线段分别在，点，，，，、已知平面例ABCDEFGHPCDMNPDACDMNPADMNPCABNMABCDPA平面求证：若）求证（平面）求证：（的中点分别是所在平面，矩形：如图所示，例45)3(;:2;//1,,1PABCDMNKoL。于的平面交和过的中点，是，，平面的正方形，是边长为：如图所示，四边形例NSDBCMSAMSAABCDSAABCD861大小的正切值；）求二面角（DBCM1所成角的正切值；与平面）求（ABCDCN2所成角的余弦值；与）求（BDCN3所成角大小的正弦值。与）求平面（SDCSBC4ABCDSMNEFQ的大小。求二面角角，成与平面角，成与平面，，，平面中，平面：在三棱锥例DABCBCDABACDABCDBDCDACCDBACDBCDA30452ABCDEF4530的最小值。上的一个动点，求是棱）（所成的角与平面）求（所成的角，）求（，，于内，在面，于内，，在面的平面角：二面角例CMAMaMACBDACBDCDDaCDABBaABa3211321203BDACEFMC’a二面角的大小所成的平面与棱柱的下底面，，求：过上的点，且和的侧棱分别是正三棱柱，：已知例111111111124CEDCBEBDABBAACBAABCEDABCDE1A1B1CF;)1(,60的距离到平面求的中点，是，平面，中，的菱形如图，边长为PBCEaPCPAEABCDPCABCABCDaABCDPEO间的距离；与直线BDPA)2(F的距离到平面）求点（；平面）求证：（。内的射影为在平面点，，，为已知二面角PBCAPBCADDABCpaPABCaACACPAACBCBACP2//1,2,60PABCDEF3、注重语言互译（1）文字语言（2）符号语言（4）作图（斜二测画法）、识图（三视图）、用图（提供直观）（3）图形语言一、立足课本,夯实基点a直线a在平面内平面直线a二、总结规律突破难点1、平行与垂直的证明看条件，想性质；看结论，想判定。2、三视图的实物还原长对正，高平齐，宽相等。条件结论性质判定………………三空间的角1、、两条异面直线所成的角：关键是找平行线，通常利用三角形的中位线与边的平行关系或补成平行四边形。2、直线和平面所成的角：求斜线与平面所成的角的关键是找斜线在平面内的射影，即找斜线上的点在平面内的射影，为此通常利用平面与平面的垂直的性质。3、二面角：关键是找二面角的平面角，通常利用（1）定义（2）三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面（4）特殊图形的性质四、总结规律,突破难点5、简单几何体面积与体积的计算方程思想（1）多面体（2）旋转体注意正棱锥、正棱台中的4个直角三角形（如右图）PABCOD注意圆柱、圆锥、圆台的轴截面、侧面展开图和球的大圆面（如右图）BO五、总结规律,突破难点6、平面图形的翻折平面依托法AODCBAFOBECDAFOBECD例如，将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，求AB和CD所成角。翻折规律：翻折前后在翻折线同侧的所有量之间的关系均保持不变；翻折前后在翻折线两侧的量之间的关系一般将发生改变；PB平面AEC六、注重纠错,补强弱点【案例1】（徐州09-10届高三摸底16）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E是PD的中点。（1）求证：PB∥平面AEC;（2）求证：平面PDC⊥平面AEC。PBACDEO存在问题：（1）符号表示不规范。如OE∈面AEC；（3）证明方向不能推出。如误以为“PD⊥面AEC”，事实上“AE⊥面PDC”.（2）定理叙述不完整。如因为PB∥OE,OE面AEC,，所以PB∥平面AEC;七、注重纠错,补强弱点答：正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高【案例2】已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间，可得出的结论是存在问题：（1）正四面体内正三棱锥;（2）任意一点任意一条直线;生搬硬套（3）到各个面到各条棱;