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1第五章生活中的轴对称知识框架：知识点1：轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段（两条对称轴），角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形典型例题：例1.如图所示，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的有()例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为（）.（只写序号）针对练习：（一）、判断题1.轴对称图形只有一条对称轴.（）轴对称轴对称图形(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等②对称轴垂直平分连接对应点的线段(2)性质(3)垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等性质等腰三角形定义：有两条边相等的三角形．叫做等腰三角形(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)22.轴对称图形的对称轴是一条线段.（）3.两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形.（）4.全等的两个图形一定成轴对称.（）（二）选一选：１.下列图形中，是轴对称图形的为（）２．如图，下列轴对称图形中对称轴最多的是（）知识点2：简单的轴对称图形（角、线段、等腰三角形）1、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。∵∠1=∠2PB⊥OBPA⊥OA∴PB=PA①如下图，OC平分∠AOB，D为OC上任一点，DE⊥OB于E，若DE=4cm，则D到OA的距离为_____.2、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称：中垂线②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。∵OA=OBCD⊥AB∴PA=PB③如图1所示，DE是AB的垂直平分线，交AC于点D，若AC＝6cm,BC=4c则△BDC的周长是________.ABCDE233、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等（简称：等角对等边）。4．△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为_____三角形.因为.4、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各边都相等，各个角也都相等，并且每个角都等于60°。推论：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、等边三角形的判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。4、如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4厘米，则△ABC是三角形，△ABC的周长为。典型例题例1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.三角形底边上的高B.三角形顶角的平分线C.三角形底边上的中线D.三角形底边的垂直平分线例2．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是()A．9cmB．12cmC．9cm和12cmD．在9cm与12cm之间例3.P是∠ABC平分线BD上的任一点，点Q在边BC上，且PQ=2，则点P到另一边AB的距离是（）A.等于2cmB.大于2cmC.小于2cmD.小于或等于2cm针对练习：1.如图2，∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D、E，则下列结论中错误的是()4ABCDEP12A.PD=PEB.BD=BEC.∠BPD=∠BPED.BP=BE２．如图，直线1l，2l，3l表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处B.2处C.3处D.4处３．△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC=_____.４.等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为_____.５.底角等于顶角一半的等腰三角形是_____三角形，画出此三角形斜边上的高，这时图中有_____个等腰三角形.６.等边三角形有_____条对称轴.７.等腰三角形的周长为22cm,其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为_____.８.(分类讨论思想)等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为_____.９.如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9cm,△BCE的周长为15cm,求BC的长.１０．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯.(如图)请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由.MNAOB１１．如图所示，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形的性质证明：CD=AB+BD１２．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交ＡＣ于点Ｆ，且CF=DF，试着求∠A的度数。１３．如图所示，AC⊥BC，AC平分∠DAE，E为AB上一点，EC∥AD，求证：AE=BE。1l3l2l5１１１２１３知识点3：轴对称的性质①对应点所连的线段被对称轴垂直平分；②对应线段相等，对应角相等。③关于某条直线对称的两个图形是全等形。④两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。⑤如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。⑥镜面反射原理光线在镜面的反射过程中，反射角等于入射角，如图所示，可得∠1＝∠2。针对练习1.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（）A.这直线的两旁B.这直线的同旁C.这直线上D.这直线两旁或这直线上2.线段AB和CD互相垂直平分于O点，且OC=21AB，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有()A.4个B.6个C.8个D.10个3.（利用轴对称设计图形）一轴对称图形画出了它的一半，请你以虚线为对称轴徒手画出图形的另一半.４．牧马人在A处放牧，现他准备将马群赶回B处的家中，但中途他必须让马到河边l饮水一次(如图8)，他应该怎样选择饮水点P，才能使所走的路程PA＋PB最短？为什么?ABl５．如图6：P、Q分别是△ABC的边AB,AC上的点，在BC上找到一点R，使△PQR的周长为最短。６．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短．７．如图，EFGH为矩形台球桌面，现有一白球A和一彩球B.应怎样击打白球A,才能使白球A碰撞台边EF,反弹后能击中彩球B?BAAAHGEFＦQPABC图66图5知识点3：镜面对称的性质1、物与像关于镜面成轴对称；（分清左右对称与上下对称）①如果一个图形正对镜面，镜子中的像改变了物体的左右位置，即像与物体的左右位置互换；②如果一个图形垂直于镜面放置，则原图形靠近镜面的部分，其像也靠近镜面，即像与物体的上下位置互换。2、常见的问题：①物体成像问题；②数字与字母成像问题；③时钟成像问题典型例题例1.如图7－43，小亮运动衣上的实际号码是A.901B.109C.601D.1062.一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为.巩固练习１.请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形.２.黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是__________.３．如图，一个汽车车牌在水中的倒影如图所示，则该车的牌照号码是.A.W17639B.W17936C.M17639D.M17936４．小亮从平面镜子里看到背面墙上电子钟示数的像如图所示，此时的时间是（）A.21:10B.10:51C.15:01D.10:21５．小花在镜子中看到钟表上的示数为2：35，如图5，则此时的时间为。知识点4：镶边与剪纸1、镶边与剪纸是运用轴对称的民间艺术。2、镶边中，相邻的两个图案成轴对称，相间的两个图案之间形状、大小和方向完一样。针对练习：１、如图(5)，将标号A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四个图形。按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形，”的对应关系，填空：A与______对应，B与______对应，C与______对应，D与______对应。·7ABCD２、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（）拓展与探究：１．如图，△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作EF平行于BC,写出图中的所有等腰三角形２．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，求PQ之长．３．如图，在△ABC中，C为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，求AB之长．规律方法专题(正确作辅助线解决问题)1．已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．2．如图，在△ABC中，AB=AC,EF交AB于E，交AC的延长线于F，交BC于D，且BE=CF，求证：DE=DF。右下方折上折右折沿虚线剪开ABCDO图9FABCE8【中考真题】1.（2011江苏无锡）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）A．B．C．D．2.（2011湖北荆州）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）A、1B、2C、3D、43.（2011山西）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）4.（2011•柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（）A、三角形B、四边形C、五边形D、正六边形5.（2011•台湾）如图1，将某四边形纸片ABCD的AB向BC方向折过去（其中AB＜BC），使得A点落在BC上，展开后出现折线BD，如图2．将B点折向D，使得B、D两点重迭，如图3，展开后出现折线CE，如图4．根据图4，判断下列关系何者正确？（）（向上对折）图（1）图（3）（向右对折）图（2）图（4）DCBA9A、AD∥BCB、AB∥CDC、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC