参数方程与普通方程的互化

选修4—4极坐标与参数方程§4.4.2参数方程与普通方程的互化（理科）总第57教案一、【教学目标】1、掌握参数方程与普通方程的互化的常用技巧；2、熟悉常见曲线的参数方程。二、【教学难点】直线参数方程中参数的意义及消参时变量范围的确定。三、【基础知识】1、曲线的参数方程与普通方程的互化：参数方程与普通方程是曲线的两种不同形式，它们在形式及分析方法上各具特点又互相补充，实现它们之间的互化，有利于发挥它们的长处。（1）消去参数方程中的参数就得到普通方程，但要注意到普通方程中变量x,y的取值范围和参数方程中相应的取值范围相一致。（2）化参数方程时，要恰当地选择参数t和函数x=f(t)，并且使x=f(t)的值域和普通方程中变量x的范围一致，然后将x=f(t)代人普通方程中解出y=g(t),即得参数方程)()(tgytfx2、常见的消参技巧：（1）代入消元法：由其中一式解出t(或t2等)代人另一式；（2）加减消元法：由两式加减（平方加或减）或乘除消去参变量；（3）换元法：通过代数或三角换元消去参变量。3、常见曲线的参数方程：（1）过定点（x0,y0）倾斜角的直线参数方程为：sincos00tyytxx（t为参数）参数t的几何意义是：（1）①|t|表示直线上的点（x,y）和定点（),00yx的距离；②当点（x,y）在点（),00yx上方时，t0;当点（x,y）在定点（),00yx下方时，t0；当点（x,y）与点（),00yx重合时，t=0,反之亦然。（2）圆200)()(ryyxx的参数方程为：sincos00ryyrxx（为参数，02）参数的几何意义是：以圆心C为端点，以x轴的正方向为方向的射线，按逆时针转到CM时形成的角就是和点M（x,y）对应的参数。（3）椭圆)0(12222babyax的参数方程为：(sincosbyax为参数，02），称为离心角，它的几何意义是：设P(x,y)为椭圆上一点，作PQX轴，交以原点为圆心，半径为a的圆于Q点，连结OQ,则QOX=,它就是点P(x,y)对应的参数。四、【实例分析】例题1、将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线（1）1253tytx；（2）taaaayaaxtttt,1,0(为参数）；（3）tptyptx(222为参数，P为正常数）；（4）2,0(cossin2yx；（5）tttbyttax()1(2)1(2为参数，a,b为正常数）。注：参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程。例题2、已知曲线C的方程是：sin)(21cos)(21tttteeyeex，（1）当t是非零常数，为参数时，C是什么曲线？（2）当为不等于)(2Zkk的常数，t为参数时，C是何曲线？例题3、讨论直线ttytx(213231为参数）与圆sin2cos2yx（为参数）的位置关系。例题4、（1）以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆0222xyx的参数方程；（2）以过点A（0,4）的直线的斜率t为参数，求椭圆4x1622y的参数方程。例题5、如图，一杆子OP，以角速度绕原点O作逆时针方向旋转，而第二根杆子PQ也以角速度绕P作顺时针方向旋转，已知OP=m,PQ=n,求Q点的轨迹。课外作业1、P（x,y）是椭圆12322yx上的动点，则xy的最大值。2、直线0010cos210sin1tytx（t为参数）的倾斜角是。3、直线btyatx4（t为参数）与曲线01422xyx相切，则直线倾斜角等于。4、椭圆1121622yx上存在一点，它到直线x－2y－12=0的距离最小，则这点坐标为，最小值为。5、曲线2sin22cosyx（为参数）与ttytx(sincos2为参数）的公共点有。6、下列各组曲线中，（1）6和21sin（2）6和33tan（3）3和092（4）tytx213222和tytx322，表示相同曲线的组数为。7、已知直线022:1mymxl和046:2mmyxl，当m取一切实数时，直线21,ll交点的轨迹的普通方程是，不论m取何值时，直线1l经过定点，2l经过定点8、将下列方程化为普通方程，并画出曲线。（1）mmmymmx(2221是参数）（2）ttytx(1cos2cos是参数）9、化下列参数方程为普通方程，并说明它表示什么曲线。（1）tytx4334（2）2cossinyx（3）为参数）(tancosbyax（4）2221411ttyttx10、已知曲线的参数方程为babtyatx,(sincos为参数）（1）若为参数，则此参数方程表示什么曲线？（2）若t为参数，则此参数方程表示什么曲线？11、已知某圆锥曲线C的参数方程为ttyttx12122（t为参数），以圆锥曲线C的焦点为极点，以它的对称轴为极轴建立极坐标系，试求它的极坐标线方程。12、选择xyt为参数，将方程32254xxy化为参数方程。13、已知圆的极坐标方程为：06)4cos(242（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值。14、方程()sin(cossin)sin(coscosyx为参数）表示什么曲线？15、已知摆线的参数方程为2,0(cos1sinyx，（1）求摆线上与对应的点的直角坐标；（2）求直线21y与摆线交点的直角坐标。