教你运用“三线合一”性质

教你运用“三线合一”性质江西黄永源“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.CDAB（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼.例1如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF.BDACEF分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，这只要证明AD是∠BAC的平分线.证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF.说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质.例2如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝12∠BAC．21BEACD分析：为了得到12∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠１＝∠２＝12∠BAC．∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．∴AE⊥BC于点E．∴∠AEC＝90°，∠１＋∠C＝90°，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°．∴∠CBD＝∠１＝12∠BAC．说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质.例3如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.CFADBE分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直.要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行.证明：过A作AF⊥BC于F.∵AB＝AC，AF⊥BC于F，∴AF是等腰三角形△ABC底边BC上的高线.∴AF平分∠BAC.∴∠BAC＝2∠BAF.∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED.∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D.∴∠BAF＝∠D，DE∥AF.∴DE⊥BC.说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的高线AF是顶角∠BAC的平分线的性质.