两角和与差的正弦、余弦函数(答案)

-1-课时跟踪检测（二十四）两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数一、基本能力达标1．已知α∈0，π2，cosα＝33，则cosα＋π6＝()A.12－66B．1－66C．－12＋66D．－1＋66解析：选A∵α∈0，π2，cosα＝33，∴sinα＝63，∴cosα＋π6＝cosαcosπ6－sinαsinπ6＝33×32－63×12＝12－66.2．满足cosαcosβ＝32－sinαsinβ的一组α，β的值是()A．α＝13π12，β＝3π4B．α＝π2，β＝π3C．α＝π2，β＝π6D．α＝π3，β＝π4解析：选B∵cosαcosβ＝32－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝32，即cos(α－β)＝32，经验证可知选项B正确．3．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC一定是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．三者都有可能解析：选C∵sinAsinB＜cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB＞0，∴cos(A＋B)＞0，-2-∴A＋B＜90°，∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形．4．已知3cosx－sinx＝－65，则sinπ3－x＝()A.45B．－45C.35D．－35解析：选D3cosx－sinx＝2sinπ3cosx－cosπ3sinx＝2sinπ3－x＝－65，故sinπ3－x＝－35.5．已知0απ2βπ，又sinα＝35，sin(α＋β)＝35，则sinβ等于()A．0B．0或2425C.2425D．±2425解析：选C由0απ2βπ得，π2α＋β3π2，又sinα＝35，sin(α＋β)＝35，∴cosα＝45，cos(α＋β)＝－45，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝35×45－－45×35＝2425.6．sin15°＋cos165°的值是________．解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos120°cos45°－sin120°sin45°＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－227．设a＝2cos66°，b＝cos5°－3sin5°，c＝2(sin47°sin66°-3-－sin24°sin43°)，则a，b，c的大小关系是________．解析：∵b＝2cos65°，c＝2(cos43°cos24°－sin24°sin43°)＝2cos67°，∴b＞a＞c.答案：b＞a＞c8．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．解析：由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①－cosγ＝cosα＋cosβ，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ，化简得cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：－129．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×－1213＋－513×513＝－1.-4-又∵α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，∴2β∈π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)．解：∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴π2＜π4＋α＜π，3π4＜3π4＋β＜π，又cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，∴sinπ4＋α＝45，cos3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sinπ4＋α＋3π4＋β＝－sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β＝－45×－1213＋－35×513＝6365.二、综合能力提升1．在△ABC中，A＝π4，cosB＝1010，则sinC＝()A．－55B.55C．－255D.255解析：选D∵A＝π4，∴cosA＝sinA＝22，又cosB＝1010，0＜B＜π，∴sinB＝31010，-5-∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝22×1010＋22×31010＝255.2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tanαtanβ的值为()A．－17B.17C．－7D．7解析：选C由sin(α＋β)＝14得sinαcosβ＋cosαsinβ＝14，①由sin(α－β)＝13得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，②由①②得sinαcosβ＝724，cosαsinβ＝－124，以上两式相除得tanαtanβ＝－7.3．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)．∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.4．若cosαcosβ＝32－sinαsinβ，且α∈0，π2，β∈π2，π，则α－β的值是()-6-A．－π6B．－π3C.π6D.π3解析：选A由题意知cos(α－β)＝32，又0απ2，－π－β－π2，所以－πα－β0，故α－β＝－π6.5．已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3＝________.解析：cosx＋cosx－π3＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝－1.答案：－16．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cosαcosβ＝________.解析：由条件知：cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45，①cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－45.②①＋②得2cosαcosβ＝0，∴cosαcosβ＝0.答案：07．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|-7-＝255，求cos(α－β)的值．解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．∴|a－b|＝cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝2－2cosα－β＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.8．已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解：(1)因为α，β∈0，π2，所以α－β∈－π2，π2，又sin(α－β)＝10100，∴0α－βπ2.所以sinα＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)-8-＝55×31010－255×1010＝210.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈0，π2，所以β＝π4.