七级数学培优提高讲义：相交线与平行线(一)

1/9七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______.8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。.方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，ABCDEFG32lab42/9ABCDEF∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。解：∵AB∥EF∥CD∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠BED+∠D=192°（已知）即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）则∠B+∠D=96°（等式性质）∵∠B-∠D=24°（已知）图(2)∴∠B=60°（等式性质）即∠BEF=60°（等量代换）∵EG平分∠BEF（已知）∴∠GEF=21∠BEF=30°（角平分线定义）例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。解：过E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行公理）∴∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）∵∠DEB=∠DEF-∠BEF∴∠DEB=∠D-∠B=30°评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，说明：ha+hb+hc＜a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，ha＜c，hb＜a，hc＜b以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1．以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2．垂线段最短。例5．如图（4），直线AB与CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，求证EF与GH必相交。分析：欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。证明：假设EF与GH不相交。∵EF、GH是两条不同的直线ABCDEFGHObacha3/9∴EF∥GH∵EFAB∴GHAB又因GHCD故AB∥CD(垂直于同一直线的两直线平行)图（4）这与已知AB和CD相交矛盾。所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交评注：本题应用结论：(1)垂直于同一条直线的两直线平行。(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；…则n条直线共有交点个数：1+2+3+…+(n-1)=21n(n-1)评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=21n(n-1)例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；…∴10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)块不同4/9的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例9．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n0180证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角2)1(nn×2＝n(n-1)对，即2n(n-1)个角平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动过点O，成为交于一点O的n条直线，这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：1、2、3、…、2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。若这2n个角均大于n0180，则1+2+3+…+2n＞2n×n0180=360°,而1+2+3+…+2n=360°,产生矛盾故1、2、3、…、2n中至少有一个小于n0180，即原来的2n(n-1)中至少有一个角不小于n0180评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例10．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：（a）在平面上任取一点A。过A作两直线m1与n1。在n1上取两点B，C，在m1上取两点D，G。过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复m1n1m2m3n2n3ABCDEFGHIOl3l2ln5/921ABCDEF计数一次，所以这7条直线交点总数为221＝10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。三、巩固练习1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A．6B．7C．8D．92．平面上三条直线相互间的交点个数是（）A．3B．1或3C．1或2或3D．不一定是1，2，33．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A．36条B．33条C．24条D．21条4．已知平面中有n个点CBA,,三个点在一条直线上，EFDA,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（）（A）9（B）10（C）11（D）125．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A．4对B．8对C．12对D．16对6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=()A．90°B．135°C．150°D．180°ABCDEFGH第5题312ABCDEFG第6题第7题7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系；8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。10．如图，已知AB∥CD∥EF，PSGH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ＝。11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13．已知：如图，DE∥CB，求证：∠AED=∠A+∠B14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠GlABCDEFGHPQRS第10题6/9ABCDE第13题第14题15．如图，已知CBAB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠EDC+∠ECD=90°，求证：DAAB16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。答案1．5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C2．平面上3条直线可能平行或重合。故选D3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选D4．由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出2)1(nn条直线，若CBA,,三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若FEDA,,,四点不在一条直线上，可以画出6条直线，∴.382632)1(nn整理得2n.0)90)(10(,090nnn∵n+9＞0∴,10n∴选B。5．直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+6＝16对ABCDEFGABCDE第15题7/96．∵FD∥BE∴∠2=∠AGF∵∠AGC=∠1-∠3∴∠1+∠2-∠3=∠A