3.1-两角和与差的正弦、余弦与正切公式完美版

【学习目标】1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.【要点梳理】要点一：两角和的余弦函数cos()coscossinsinC要点二：两角和与差的正弦函数sin()sincoscossin()S在公式()S中用代替，就得到：sin()sincoscossin()S要点诠释：(1)公式中的、都是任意角；(2)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin2sin2coscos2sin0cos1sinsin当或中有一个角是2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；(3)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sincoscossin时，不要将sin和cos展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sincoscossinsinsin要点三：两角和与差的正切函数利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.tan()tantan1tantanTtan()tantan1tantanT要点诠释：公式成立的条件是：,,Z2222kkkkk或，其中；2．重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：();()；(2)()；1()()2等，常见的三角变换有：切化弦、221sincos等．【合作探究】探究一：两角和与差的三角函数公式的正用例1．已知4sin5，,2，5cos13，是第三象限角，求cos()、sin()、sin()的值．【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定cos、sin的值，然后利用两角和与差的余弦、正弦公式求值．【解析】由4sin5，,2得2243cos1sin155，4tan3又由5cos13，为第三象限角得22512sin1cos11313，12tan5∴cos()coscossinsin354126351351365．sin()sincoscossin=45312()513513=1665sin()sincoscossin=45312()513513=5665【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦或余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的余弦公式中，求出和角或差角的余弦．【变式1】（1）21tan(),tan(),54求tan2的值；（2）已知3312,,,sin(),sin(),45413求cos()4的值．【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角,和所求的角2之间有关系()()2．（2）()()44．【解析】（1）tan()tan()tan2tan()()1tan()tan()=2113542118154(2)333,,,,2,(,)42424,又34sin(),cos();55125sin(),cos().413413cos()cos()()44=cos()cos()sin()sin()44=4531256()()51351365【总结升华】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如()()44，(),2()()等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．探究二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用例2．计算下列各式的值：（1）cos12cos18sin12sin18；（2）3tan1513tan15；（3）tan17tan28tan17tan28．【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形．【解析】（1）cos12cos18sin12cos72=cos12cos18sin12sin18=cos(1218)=cos30=32.（2）3tan15tan60tan15tan(6015)tan4511tan60tan1513tan15．（3）∵28tan17tan128tan17tan)2817tan(∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1tan17tan28∴原式=1tan17tan28+tan17tan28=1【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式tantantan()1tantan的变形tantantan()(1tantan)应予以灵活运用．【课外作业】1．sin20cos40cos20sin40的值等于（B）A．14B．32C．12D．342．已知,41)4tan(,52)tan(则)4tan(的值等于（B）A．1813B．223C．2213D．1833．tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°的值是（A）A．1B．33C．3D．324．已知,为锐角，且cos=71cos)(=－1411,则cos=_________．【解析】∵为锐角，且1cos7，∴243sin1cos7．又∵、均为锐角，∴0＜＜π，且11cos()14，∴253sin()1cos()14．则coscos[()]cos()cossin()sin1115343()147147125．求值：sin7cos15sin8cos7sin15sin8【解析】原式=sin(158)cos15sin8cos(158)sin15sin8=tan1523风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。所有的结局都已写好所有的泪水也都已启程却忽然忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索年轻的你只如云影掠过而你微笑的面容极浅极淡逐渐隐没在日落后的群岚遂翻开那发黄的扉页命运将它装订得极为拙劣含着泪我一读再读却不得不承认青春是一本太仓促的书记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。尽管心很累很疲倦我却没有理由后退或滞留在过去与未来之间三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。我有所感事，结在深深肠。你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。心之所向素履以往生如逆旅一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。曾经沧海难为水，除却巫山不是云。回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。一辈子，不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。我希望有个如你一般的人。如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不