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一、如图所示的1D杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。注意它的弹性模量为E、横截面积A解：如图1.1所示的1D杆结构，其基本变量为位移应变应力取微单元体，其应力状态如图1.2，由泰勒展开式知略去2阶以上的商阶微量知由力的平衡知：即力的平衡方程为：①位移由图1.3知（泰勒展开，略去商阶微量）即几何方程为：②根据虎克定律知③由①、②、③知该1D杆的基本方程为在节点1时位移：在节点2时应力：即其边界条件为onon由①式知④④代入③解得：⑤、为待定系数结合边界条件知解知得，∴二、设平面问题中的应力问题其中（1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者之间有什么关系才满足平衡。（1）除，，外，其余为零。（2）（3）（4）所有均为非零。解：对于此平面问题，由力的平衡方程（体积力为零）：可以得出（1）当除，，外，其余为零时，，平衡方程成立，故此情况下平衡。（2）当时，、并不一定为零，此情况下平衡方程并不一定成立，故此情况下不满足平衡，只有在时，才满足平衡。（3）当时，平衡方程成立，故此情况下满足平衡。（4）所有均为非零时，只有当，时，平衡方程才成立，才能够满足平衡，否则不平衡。三、下列应力分布是否满足平衡条件（体积力为零），（2D平面应力问题），描述就如图所示平面结构，该应力函数所表示时得边界应力。解：根据力得平衡方程（体积力为零时）知上两个等式成立，即平衡方程成立，即此情况满足平衡条件。其边界应力，，，作图如下：故边界下应力如图2.2所示：其边界得剪应力如图2.3所示：四、如图所示已知，，（平面应力问题）求：（1）斜面上应力，的表达式（2）最大主应力，最小主应力及此时斜面的方向余弦。解：（1）由力的平衡知（设厚度为t）..........①..........②又......③由①③知........④由②知.......⑤④+⑤知整理得........⑥④-⑤整理得：.......⑦（2）由⑥知：∴.........⑧⑧式中，为的函数，对⑧式两边进行求导，并令可得：........⑨对⑦式进行化简可得........⑩⑨代入⑩中可得，即在所在斜面上确定得正应力即最大或最小主应力。由⑧化简：.........（11）由⑨知两边平面化简可得.........（12）由⑨还知：........（13）（12）、（13）代入（11）可得时的：∴最大主应力最小主应力由⑨式知∴∴五、分别就下列情形，写出所有基本方程（分量形式，指标形式），各基本变量（分量形式、指标形式及对应关系）。（1）1D情形（2）2D情形（3）3D情形解：1D情形a、基本变量分量形式：；；指标形式：；；（）对应关系：；；b、基本方程分量形式：（体积力）指标形式（）（2）2D情形a、基本变量分量形式、、、、指标形式（1，2）（＝1，2）（＝1，2）对应关系，，，b、基本方程分量形式几何变形方程材料物理方程或指标形式：力平衡方程几何变形方程材料物理方程或（3）3D情形a、基本变量分量形式指标形式对应关系：，，，，，，，，，，，b、基本方程分量形式力平衡方程几何变形方程材料的物理方程指标形式力平衡方程几何变形方程材料物理方程或（）六、分别给出平面应力平面应变状态下的前提条件及表达式，推导两种情况下的物理方程，以及它们之间转换关系。解：①前提条件:1.平面应力：设有很薄的厚度薄板，所受力在（xoy）平面且不随之变化，则在板内外表面有：，，由于板很薄：可以近似认为在整个板内外有：，＝0，＝0所有力学变量都是，函数，不随变化即，，（）基本变量为、，、、，、、2.平面应变：设有一根无限长等截面柱形体，所承受外载不随变化，任一截面都为对称面，则有：，＝0，，所有变量都是、的函数，不随变化。则，，（）基本变量为：、，、、，、、②表达式平面应力和平面应变的平衡方程和几何方程一样，均为：平衡方程几何方程物理方程：（a）平面应力：由已知条件知，由3D物理方程组知解得（b）平面应变由已知条件已知，由3D物理方程组知同理即（c）两者之间的关系比较平面应力和平面应变的物理方程可以看出，若将平面应力问题物理方程中的换成，换成，则可得到平面应变问题的物理方程。七、一立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性盖密封后均匀压力为q，方块与盒盖之间无摩擦力，设施力方向为z轴，盒的侧面方向为x轴和y轴，求方块的应力，，和应变。设立方块的弹性模量为，泊松比为。由已知条件知立方块在刚性的盒内，在x,y两方向不会产生位移。即应变。由物理方程知：BC(p)：解以上关系可得八、证明1、受纯剪单元体应变能为证明2、指标形式下与分量形式下应变能计算公式的对用关系为证明3、纯弯梁应变能的表达式为：证明1：对于受纯剪单元体情形下的应力分量如图8.1所示。此状态的力学基本变量为：我们首先研究一对剪应力与剪应变，如图8.2所示，设上只作用和。同理可得所以由与作用下，在微体上产生能量为：证明2：若证明等式成立，必须首先证明又因分解后见下表。∴又因证明3、如图所示纯弯梁梁的厚度很薄，外载沿厚度方向无变化，其中性层为y层，梁长为，弹性模量为E，基本变量为：位移（对中性层）应力（为主应力，其方向很小，不考虑）应变（为主要应变，中性层取微段莱推导三大方程）如图所示8.4所示力的平衡：几何方程：由变形后的几何关系可知其中y为距中性层坐标，为挠度曲率。即由虎克定律知物理方程为：整理上述方程得知下基本方程组故纯弯梁的应变能：九、如图所示为1个1D拉压问题（1）写出描写该问题的所有基本变量（2）写出所有基本方程，包括BC（3）写出应变能，外力功（4）写出最小势能原理的一般表达式（1D问题）（5）证明（4）（即该原理与原基本方程的关系）解（1）基本变量位移应力应变（2）基本方程平衡方程几何方程物理方程BC()：BC(p)：由平衡方程得知（待定）由几何方程得知（待定）由BC（）知由BC（p）知∴（3）应变能外力功（4）最小势能一般表达式（1D问题）（5）证明对于拉压杆的问题，其体积力，外力∴将物理方程代入，将化成，的函数…①将几何方程代入，并利用Gauss-Green公式有又因总的边界条件，考虑许可位移场的性质（它满足位移边界条件，其边界微分增量为0，即，所以根据最小势能原理，对系统势能取极值，令，则在Sp和上，其有任一性，故若使则必须即为力的平衡方程和力的边界条件。对①式进一步求导，则，故由确定的使势能取极值。由以上推导可知，满足位移边界条件的试函数，在满足几何方程和物理方程前提下，当势能取最小时，其结果可精确满足剩下的平衡方程和力的边界条件。十、就1D杆单元节点位移（局部坐标下）节点位移（整体坐标下）（1）写出和之间的关系（2）将该单元的位移场、应力场、应变场用整体坐标系下的节点位移q来表示。（3）推导出基于整体坐标下的刚度矩阵。解：（1）如图所示：∴其中（2）在局部坐标下，设位移场模式（有两个节点）为：（，待定）由边界位移知解之，知：，∴其中∴其中在整体坐标系下有（3）系统的势能为：＝其中，K为刚度矩阵十一、就2D纯弯梁单元，节点位移（局部），节点位移（整体），写出和之间的转换关系。解：由图可知∴其中，十二、简述有限元分析的基本步骤和相对应的基本表达式解：（1）物体几何离散化，为具有特征的单元。（2）单元研究，（所有力学信息均用节点位移来表达）单元节点描述单元的位移场模式（唯一确定性原则，完备性原则）所有物理量表达（所有力学量都用节点位移来表达）其中，单元的平衡关系（3）装配集成整体平衡关系其中，，，(4)处理BC并解节点位移其中，为未知节点位移，为已知节点位移，为未知节点力，为已知节点力由上式写成两个方程：直接求出未知节点位移（5）求支反力在求出后，即可求出支反力（6）其它力学计算计算单元＆整体的应变及应力，即：十三、就线性弹性平面问题，写出一下表达式（1）三大类型基本方程（分量或指标形式）并指明自变量。（2）两类边界条件（分量或指标形式）（3）对离散单元，写出用单元节点位移表示位移场的表达式（4）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元应变场的表达式（5）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元应力场的表达式（6）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元应变能的表达式（7）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元外力功的表达式（8）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元势能的表达式（9）对于离散单元，写出用总体节点位移表示单元总势能的表达式（10）对于离散单元，写出用总体节点位移表示的刚度矩阵解：（1）平衡方程几何方程物理方程其中，，，，，，，为自变量（2）位移边界条件on力的边界条件on外法线的方向余弦（3）（4）（5）（6）其中（7）（8）（9）（10）其中十四、推导杆单元的形状函数、几何矩阵、应力矩阵、及刚度矩阵解：如图所示的杆单元已知其弹性模量，面积，杆长为设有两个端点，其端点位移，节点力由于两个节点，故设其位移场待定由于位移边界条件知解之知所以：所以，其形态函数矩阵又因所以几何矩阵又所以其应力矩阵单元的势能为：其刚度矩阵为：十五、如图所示，为一由两根杆组成的结构（二杆分别沿X,Y）方向，结构参数试写成下列FEM分析（1）写出各单元的刚度矩阵（2）写出总刚度矩阵（3）求出节点2的位移（4）求各单元应力解：（1）由题意知，该系统分为单元①和杆单元②，其节点为由杆单元的刚度矩阵可知，对于杆单元①：，刚度矩阵为对于单元②，（2）总的（3）由刚度矩阵方程其中：而，，∴∴∴（4）对于单元①对于单元②十六、设有一弹性平面问题，厚度为，弹性模量为，泊松比，对于如图所示的三节点单元。已知几何矩阵为物理（弹性）矩阵为试求出（推导）该三节点的刚度矩阵。解：该三节点的刚度矩阵为十七、对于不考虑体积力的平面弹性问题，试证明由位移表达的平衡方程为：其中分别为方向位移，为泊松比。证明：对于平面应力弹性问题，在不考虑体积力时，其力的平衡方程为：几何方程为：物理方程为：把（3）、（4）、（5）代入（6）、（7）（8）可得：把（9）、（11）代入（1）中可得：把（10）、（11）代入（2）中可得:即：十八、说明单元刚度矩阵中每个元素的特殊意义。解：以1D节点单元为例，其刚度方程为令，则即表示要使单元第点产生位移（＝1），而且它点固定时，需要在第点所施加的力。如图18。2所示十九、在处理位移约束前，为什么整体刚度矩阵时奇异的。解：设一个单元在受现同外载时存在着两种刚体位移，即（）则(1)——（2）可得因，要使（3）式由非零解的条件是所以在处理位移约束前单元刚度矩阵是奇异的。即二十、用最下势能原理推导弹性问题的平衡方程：式中证明：对于弹性问题，其节点位移为根据位移模式简单性、完备性、连续性和准确定性原则。设，根据节点位移条件可知，为形状函数矩阵。由几何方程知其中——几何矩阵由物理方程知——弹性系数矩阵所以单元的势能——体积力矩阵，——外力矩阵由最小势能原理知∴即为力的平衡方程其中二十一、如图所示，三角构件以坐标系表示的刚度矩阵如下：试建立以，，及，，来表示的刚度方程。解：由原来刚度矩阵知;第二行与第三行变换，第二列与第三列交换：节点位移坐标变化为：其中变化矩阵，∴整个坐标下的刚度矩阵（以表示）为：整体坐标系下的节点力∴刚度方程为：