分式方程的增根与无解详解

1分式方程的增根与无解讲解例1解方程2344222xxxx．①解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2解方程22321xxxx．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则m=——————．解：原方程可化为32xx=－2mx．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②2若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．例5：（2005扬州中考题）若方程)1)(1(6xx-1xm=1有增根，则它的增根是（）A、0B、1C、-1D、1或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整理得：m(x+1)=7-x2当x=-1时,此时m无解；当x=1时,解得m=3。由此可得答案为B。例6：关于x的方程3xx-2=3xm有一个正数解，求m的取值范围。分析：把m看成常数求解，由方程的解是正数，确定m的取值范围，但不能忽略产生增根时m的值。原方程易化为整式方程：x-2(x-3)=m整理得：x=6-m∵原方程有解，故6-m不是增根。∴6-m≠3即m≠3∵x＞0∴m＜6由此可得答案为m的取值范围是m＜6且m≠3。一、分式方程有增根，求参数值3例7a为何值时，关于x的方程342xaxx=0有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0a=3所以a=3时，342xaxx=0有增根。例8m为何值时，关于x的方程11x+2xm=23222xxm有增根。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（※）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（※），解得m=-23；把x=2代入（※）得m=-2所以m=-23或-2时，原分式方程有增根点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程1xk+1=)2)(1(2xx有增根，可求得k=-32，但分式方程这时有一实根x=38。二、分式方程是无实数解，求参数值例9若关于x的方程52xx=5xm+2无实数，求m的值。解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5所以m=3例10．若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m的值是（）A.12或B.12或C.12或D.12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或，故选择D。例11.m为何值时，关于x的方程22432xmxxx会产生增根？解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx4整理，得()mx110当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根例12、解方程：121043323489242387161945xxxxxxxx分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：3143428932874145xxxx即2892862810287xxxx于是，所以解得：经检验：是原方程的根。1898618108789868108711()()()()()()()()xxxxxxxxxx例13、若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m的值是（）A.12或B.12或C.12或D.12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或，故选择D。练习题1解方程2344222xxxx．52解方程22321xxxx．3（2007湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则m=——————．4当a为何值时，关于x的方程223242axxxx会产生增根？5当a为何值时，关于x的方程223242axxxx无解？