(经典)讲义：等比数列及其前n项和

1（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.【注意】6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．7.1由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，2防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．一、知识梳理1.等比数列前n项和公式(1)111(1)(1)11(1)nnnaaqaqqSqqnaq探索导引:求和631242S说明：对于等比数列的前n项和公式:从方程观点看:由等比数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知1,,,,nnaqnaS中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意讨论公比q是否为1.2.与前n项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列{}na中,公比为1q,依次k项和232,,,kkkkkSSSSS成公比为kq的等比数列.(2)若等比数列{}na的公比为q,且项数为2()nnN,则SqS偶奇.探索导引:等比数列{}na中，已知，2420,60SS，求6S，并考虑等式226442()()SSSSS是否成立？说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是232,,,kkkkkSSSSS成等比数列,而不是23,,,mmmSSS成等比数列.二、方法（一）等差数列前n项和公式的应用3理解例题1:在等比数列中，（1）已知13,2,aq求66,aS；（2）已知1112.7,,,390naqa求n；（3）已知141,64,aa求q和4S；（4）已知3339,22aS求1,aq；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,nnaaqnS只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a和q两个最重要的量,通常要先求出1a和q.解:(1)55613296aaq.6616(1)3(12)189112aqSq.(2)11nnaaq，1112.7()6903nn(3)341aaq，364q，4q144164(4)5111(4)aaqSq(4)231231329(1)2aaqSaqq（1）（2）（2）÷（1）得2213qqq22101qqq或12q当1q时，132a，当12q时，16a知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,nnaaqnS中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n项和公式.（二）与等差数列前n项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列{}na中12mS,236,mS求3mS.分析:在有关等比数列的问题中,均可化成有关1a、q的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前n项和的有关性质来简化运算.解法一:由12mS，236,mS可知1q（若1,q22mmSS）1212(1)121(1)36,1mmmmaqSqaqSq解得13mq，12,121maqq313(1)841mmaqSq解法二:232,,mmmmmSSSSS成等比数列2322()()mmmmmSSSSS2336241248mS知识体验:在学习了等比数列前n项和的有关性质后，我们用其来求解有关等差数列的前n项和问题.方法提炼:求解该类问题一般有两种方法:①可化成有关1a、q的关系列方程组求解.②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.4384mS三、例题（一）题型分类全析1．等比数列前n项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}na中:31648,216,40,naaaaS求公比q,1a及n.思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,aq的方程组，分别解出1,aq的值，代入nS即可求出n.解:由已知可得2311132641(1)8,1,3,(1)216,aaaqaqaaaqq1(1)13404113nnnaqSnq总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2已知数列{}na是等比数列,其前n项和nS,若3692SSS,求该数列的公比q.思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,aq的方程组，分别解出1,aq的值，代入nS即可求出n.解:若1q,则1nSna,36111369SSaaa,91218Sa,此时3692SSS1q369369111(1)(1)(1)222(1)111aqaqaqqqqqqq96320qqq,即63210qq,即33(1)(21)0qq故3331421022qqq.笔记：在使用等比数列的前n项和公式时,一定要注意公式的条件.若题目中不明确,应对q进行讨论.本题有关等比数列前n项和的基本运算的考查.转化为关于1,aq的方程组求解.本题考查了等比数列前n项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知q的值,故对q进行讨论.2．利用等差数列的性质求和例3：等比数列{}na中，267,91SS，求4S?思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决.解:{}na是等比数列，24264,,SSSSS成等比226442()()SSSSS2447(91)(7)SS，故24475880SS故428S或421S注意到2212344121221212()10aaaaSaaqaaqSaaaa，42,SS同号,428S笔记：遇到类似下标成倍数关系的前n项和问题,一般可考虑用等比数列中依次k项和232,,,kkkkkSSSSS成等比数列来解决,可简化计算量.在已知本题考查了等比数列连续等段和成等比的性质.利用等比数列分段和成等比.考虑是否两解都满足条件.建议：已知3,nnSS求2nS时，尽量列方程求解，若用53,nnSS,利用这一性质求2nS时,要考虑是否会出现增根的问题.例4已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比及项数.思路:本题涉及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都已知,由此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项.解：该数列是一项数为偶数的等比数列170285SqS偶奇，又85170255nSSS奇偶1(1)1(12)21255112nnnnaqSq故8n阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.性质应考虑是否会出现增根.本题考查了等比数列的性质.注意SqS偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的.建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.3．某些特殊数列的求和例5:(1)已知数列{}na的通项公式2nnan，求该数列的前n项和nS；(2)已知数列{}na的通项公式23nnna，求该数列的前n项和nS.解:(1)123nnSaaaa23(21)(22)(23)(2)nn23(2222)(123)nn2(12)(1)122nnn1(1)222nnn(2)123nnSaaaa2233(23)(23)(23)(23)nn2323(2222)(3333)nn2(12)3(13)1213nn1322(31)2nn=1137222nn笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例6：已知数列{}na的通项公式2nnan，求该数列的前n项和nS；思路:写出数列的前n项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和的方法来求其前n项和.解：23222322nnSn2312222(1)22nnnSnn23122222nnnSn1232(2222)nnnSn考查数列的分组求和问题.等差等比数列各自分组求和.不同公比的等比数列按公比各自分组求和建议：熟记几种常见的数列求和类型及其对应方法.考查数列的错位相减法求和的问题。612(12)212nnn1112(22)(1)22nnnnn笔记:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和.建议：错位相减法是高考的一个常考点，平时训练给予重视.（二）重点突破例7:（2007天津）在数列na中，12a，1431nnaan，n*N．（Ⅰ）证明数列nan是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明不等式14nnSS≤，对任意nN皆成立．思路直现:(1)由递推关系式构造出数列nan,并证明其是等比数列.(2)利用分组求和法求出{}na的前n项和.(3)考虑用作差法证明.(Ⅰ)证明：由题设1431nnaan，得1(1)4()nnanan，nN．所以数列nan是首项为111a，且公比为4的等比数列．(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14nnan，14nnan．1(11)(42)(4)nnSn21(1444)(123)nn41(1)32nnn(Ⅲ)证明：对任意的nN，1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnnnSS21(34)02nn≤．所以不等式14nnSS≤，对任意nN皆成立．笔记:本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出nan的形式,并证明其为等比数列.例8:（2007辽宁）已知数列{}na，{}nb满足12a，11b，且11113114413144nnnnnnaabba