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有限元分析及应用(FiniteElementAnalysisandApplications)清华大学机械工程系曾攀1《有限元分析及应用》习题I要求：(1)每位同学独立完成；(2)请手写书面完成，交手写稿，不要打印稿；(3)跟随课堂进度完成相应的习题，在课程结束时一并上交，具体时间见通知。1.如图所示的1D杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。注意：它的弹性模量为E，横截面积为A第1题图2.设平面问题中的应力为123456789xxyyxyaaxayaaxayaaxayσστ=++=++=++其中ai（i=1,2,…,9）为常数,令所有体积力为零，对下列特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者在ai之间有什么关系才满足平衡。（1）除a1、a4、a7外，其余ai为零。（2）a3=a5=a8=a9=0（3）a2=a6=a8=a9=0（4）所有ai均为非零。3.如图所示，已知平面应力问题的应力状态为,,xxyyxyσστ，求：（1）斜面上应力σN，τN的表达式。（2）最大主应力、最小主应力及此时斜面的方向余弦。第3题图有限元分析及应用(FiniteElementAnalysisandApplications)清华大学机械工程系曾攀24.分别就以下情形，写出所有基本方程及边界条件（分量形式、指标形式）、各基本变量(分量形式、指标形式以及对应关系)。（1）1D情形（2）2D情形（3）3D情形5设有应变分量的表达式为22440122440122012()()()()()xxyyxyAAxyxyBBxyxyCCxyxyCεεγ=++++=++++=+++其中0101012,,,,,,AABBCCC为常数，试问这些常数需要满足何种关系时，以上的应变分量才能成为一种真正的应变状态。6.分别给出平面应力和平面应变状态下的前提条件及表达式，推导两种情况下的物理方程，以及它们之间的转换关系。7.一个立方块的弹性体放在同样大小的刚性盒内，其上面用刚性盖密闭后加均匀压力q,方块与盒盖之间无摩擦力，设加压方向为z轴，盒的侧面法向为x轴和y轴，求弹性体的应力,,xxyyzzσσσ和应变,,xxyyzzεεε8.某一长方体的位移分量为321132213(12)(,,)(12)(,,)(12)(,,)PuxyzxbybzaEPvxyzybzbxaEPwxyzzbxbyaEμμμ−=−+−+−=−+−+−=−+−+其中123123,,,,,aaabbb为常数。试证明：该长方体只有体积改变，而无形状改变。若该长方体的原点无移动，该体也无转动，求该体的位移分量表达式中的各常数。9.证明1：指标形式与分量形式的应变能计算公式的对应关系为11[]22ijijxxxxyyyyzzzzxyxyyzyzzxzxddσεσεσεσετγτγτγΩΩΩ=+++++Ω∫∫证明2：纯弯梁应变能的表达式为：212lUMdxEI=∫10.如图所示为一受均布载荷的悬臂梁。有限元分析及应用(FiniteElementAnalysisandApplications)清华大学机械工程系曾攀3（1）用挠度方程求出精确解。（2）写出二种以上的许可位移场（试函数）（3）基于许可位移（至少用一种），分别用以下几种原理求挠度曲线v(x)，并和精确解比较。z最小势能原理（即Rayleigh-Ritz法）。zGalerkin加权残值法。z残值最小二乘法。第10题图11.试用最小势能原理，推导如图所示平面悬臂梁的挠度方程和边界条件。EIFlxMy第11题图12.设某一类1D物理问题的微分方程为220(01)dxxdxϕϕ++=≤≤边界条件为(0)(1)0ϕϕ==若采用下列试函数1122()()()xcxcxϕϕϕ=+其中122()(1)()(1)xxxxxxϕϕ=−=−试应用以下方法求解该问题(1)加权残值法中的Galerkin方法，(2)加权残值法中的最小二乘方法，(3)定义一个泛函，然后采用求极值的方法(类似于最小势能原理)