高中数列中常用方法集锦(文科版)推荐

求数列前N项和的方法1.公式法等差数列前n项和：11()(1)22nnnaannSnad特别的，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，1nSna1111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n212.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例2]求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432……………………….②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn[例3]求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS3.反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.[例4]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.54.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan练习：求数列),21(,,813,412,211nn的前n项和。5.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：111)1(1nnnnan[例6]求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n[例7]在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn6.合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例8]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵)180cos(cosnn（找特殊性质项）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例9]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa＝9log9log9log333＝107.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例10]求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。求数列通项公式的五种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1()nnaafn若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan2、累乘法适用于：1()nnafna若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka三、待定系数法适用于1()nnaqafn分析：通过凑配可转化为1121()[()]nnafnafn;解题基本步骤：1、确定()fn2、设等比数列1()nafn，公比为23、列出关系式1121()[()]nnafnafn4、比较系数求1，25、解得数列1()nafn的通项公式6、解得数列na的通项公式例3已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaan121nnaa两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……例4已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，所以114352nnna，即114352nnna解法二：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例5已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。解：求倒数得11111111111,,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan五、阶差法1、递推公式中既有nS，又有na分析：把已知关系通过11,1,2nnnSnaSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。2、对无穷递推数列例6已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan①所以1123123(1)nnnaaaanana②用②式－①式得1.