实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现

现代控制理论第一次上机实验报告实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现实验目的：1、通过实验掌握线性系统的对角线标准型、约旦标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及相应变换阵的求解；2、通过编程、上机调试，掌握系统可控性和可观测性的判别方法、系统的可控性和可观测性分解等；3、加深理解由控制系统传递函数建立能控、能观、约当标准型等不同状态模型的方法。实验要求：1．实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗？2．系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外，常见的还有串连实现，对否？3．对于上述系统传递函数，其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系？实验步骤：1.根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如传递函数、零极点模型或（A、B、C、D），实现状态空间模型之间的相似变换、写出其对角线标准型、约当标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及求解相应变换阵，采用MATLAB的相关函数编写m-文件。已知系统的传递函数如下：3211()(1)(2.5)(5)8.52012.5160.270.112.55Gssssssssss运行如下m-文件，得到传递函数的状态空间模型：num=[0001];den=[18.52012.5];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)得到A=-8.5000-20.0000-12.50001.00000001.00000B=100C=001D=0因此，传递函数的一个状态空间实现是[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[−8.520−12.5100010][𝑥1𝑥2𝑥3]+[100]𝑢y=[001][𝑥1𝑥2𝑥3]G=ss(A,B,C,D);(1)对角线标准型：计算矩阵A的特征值及与特征值对应的对角型变换矩阵D的m-如下：[V,D]=eig(A)[V,D]=eig(A)V=-0.97980.91840.57740.1960-0.3674-0.5774-0.03920.14690.5774D=-5.0000000-2.5000000-1.0000由对角线标准型的变换阵D，运行下列m-文件的到对角线标准型矩阵系数：G1=ss2ss(G,D)a=x1x2x3x1-8.5-40-62.5x20.500x300.40b=u1x1-5x20x30c=x1x2x3y100-1d=u1y10Continuous-timemodel.由上可得，对角线标准型：[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[−8.5−40−62.50.50000.40][𝑥1𝑥2𝑥3]+[−500]𝑢y=[00−1][𝑥1𝑥2𝑥3]对角型变换矩阵为：V=[−5000−2.5000−1](2)约旦标准型：计算矩阵A变换为约当标准型J，并得到变换矩阵V，运行下列m-文件：[V,J]=jordan(A)V=2.5000-1.66670.1667-0.50000.6667-0.16670.1000-0.26670.1667J=-5.0000000-2.5000000-1.0000根据得到的约当标准型的变换矩阵V，运行下列文件得到约当标准型的矩阵系数：G1=ss2ss(G,V)a=x1x2x3x1-104-613.6-697.1x221123.1139.6x3-4.2-24.28-27.58b=u1x12.5x2-0.5x30.1c=x1x2x3y117.512.5d=u1y10Continuous-timemodel由上可得，约旦标准型：[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[−104−613.6−697.121123.1139.6−4.2−24.28−27.58][𝑥1𝑥2𝑥3]+[2.5−0.50.1]𝑢y=[17.512.5][𝑥1𝑥2𝑥3]约旦标准型的变换矩阵为：V=[2.5−1.66670.1667−0.50.6667−0,16670.1−0.26670.1667](3)模态标准型运行以下m-程序可得到模态标准型系数矩阵和其变换矩阵：[G1,V]=canon(G,'modal')a=x1x2x3x1-500x20-2.50x300-1b=u1x1-0.825x2-0.95x30.375c=x1x2x3y1-0.12120.28070.4444d=u1y10Continuous-timemodel.V=-0.8250-2.8875-2.0625-0.9500-5.7000-4.75000.37502.81254.6875由上可得，模态标准型：[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[−5000−2.5000−1][𝑥1𝑥2𝑥3]+[−0.825−0.950.375]𝑢y=[−0.12120.28070.4444][𝑥1𝑥2𝑥3]模态标准型的变换矩阵为：V=[−0.825−2.8875−2.0625−0.95−5.7−4.750.372.81254.6875](4)伴随矩阵标准型运行以下m-程序可得到伴随矩阵标准型系数矩阵和其变换矩阵：[G1,V]=canon(G,'companion')a=x1x2x3x100-12.5x210-20x301-8.5b=u1x11x20x30c=x1x2x3y1001d=u1y10Continuous-timemodel.V=1.00008.500020.000001.00008.5000001.0000由上可得，伴随矩阵标准型：[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[00−12.510−2001−8.5][𝑥1𝑥2𝑥3]+[100]𝑢y=[001][𝑥1𝑥2𝑥3]模态标准型的变换矩阵为：V=[18.520018.5001]2．根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如（A、B、C、D）模型，判断其可控性和可观测性并进行可控性和可观测性分解。判别可控、可观：(1)构造系统的可控性判别矩阵Tc的m-程序及结果如下：Tc=ctrb(A,B)Tc=1.0000-8.500052.250001.0000-8.5000001.0000由Tc可得，系统可控。(2)构造系统的可观测性判别矩阵To的m-程序及结果如下：To=obsv(A,C)To=001010100由To可得，系统可观。运行以下m-文件得到可控矩阵可观矩阵：可控矩阵：W=gram(G,'c')W=0.0635-0.0000-0.0032-0.00000.0032-0.0000-0.0032-0.00000.0022可观矩阵：W=gram(G,'o')W=0.00220.01830.04000.01830.15910.36700.04000.36701.0294能控性分解[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C)Ac=01.0000000-1.000012.500020.0000-8.5000Bc=001Cc=-100Tc=00-10-10100Kc=111sum(Kc)ans=3由上可得，可控性分解子矩阵：[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[01000−112.520−8.5][𝑥1𝑥2𝑥3]+[001]𝑢y=[−100][𝑥1𝑥2𝑥3]能观测性分解[Ao,Bo,Co,To,Ko]=obsvf(A,B,C)Ao=-8.500020.0000-12.5000-1.0000000-1.00000Bo=-100Co=00-1To=-10001000-1Ko=111sum(Ko)ans=3由上可得，可观性分解子矩阵：[𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[−8.520−12.5−1000−10][𝑥1𝑥2𝑥3]+[−100]𝑢y=[00−1][𝑥1𝑥2𝑥3]3．按图4.1电路接线，输入阶跃信号，观察记录输出波形，观测稳态输出值(或稳态误差)和调整时间。(注意：电阻值可根据实际情况合理选取，但需尽量保证方框图中各环节的比例放大倍数。)按图4.2图4.3分别接线，观察并记录两个电路相应的阶跃响应曲线，并与图4.1所示系统阶跃响应曲线进行比较，它们是否一致？并简单解释其原因。实验输出的参数要求及记录要求如下4.1仿真图4.1仿真结果由4.1仿真结果图可知，稳态输出值为0.08，调整时间为64.2仿真图4.2仿真结果由4.2仿真结果图可知，稳态输出值为0.08，调整时间为6.34.3仿真图4.3仿真结果由4.3仿真结果图可知，稳态输出值为0.078，调整时间为7.7结论：由上可知，4.1和4.2、4.3曲线变化趋势相同，但是稳态值和调节时间并不完全一致。实验要求：1.实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗？答：不唯一。2.系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外，常见的还有串连实现，对否？答：对。3．对于上述系统传递函数，其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系？答：成正比关系。输出稳态值变化比例和输入阶跃信号幅值变换比例相同。实验总结：通过此次实验，我更加深入地学习了状态空间模型的求解，及线性系统对角线标准型、约旦标准型、模态标准型、伴随矩阵标准型的表示方法，和相互之间进行变换的方法。还学习到了怎样根据系统矩阵系数构建能控、能观判别矩阵来判别系统的能控性、能观性；并进行能控性、能观性分解。同时也通过simulink仿真的形式对系统模型在单位阶跃输入情况下的输出有了更加形象的认识。在做实验的过程中，解决遇到的问题，不断地进行思考，我对matlab的使用有了新的了解，同时也明白自己平时掌握知识的不完善之处。