解三角形二轮复习详解

必考点八解三角形的综合问题专题复习·数学（理）类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积类型二解三角形的实际应用类型三三角形与三角函数、向量的综合问题类型高考·预测运筹帷幄之中1利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，解决三角形中的边角计算问题．2利用正弦定理和余弦定理及其变形解决三角形的形状问题．3解三角形与三角函数的性质、向量相结合的问题．4利用正弦定理和余弦定理求解含有两个或两个以上三角形的问题，体现解三角形在平面几何中的应用．知识回扣必记知识重要结论1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.知识回扣必记知识重要结论2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.知识回扣必记知识重要结论1．三角形面积S＝abc4R(R为外接圆半径)S＝12(a＋b＋c)r(r为内切圆半径)S＝12PP－aP－bP－cP＝12a＋b＋c2．在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB.知识回扣必记知识重要结论3．若三角形ABC为锐角三角形，则A＋B＞π2，sinA＞cosB，cosA＜sinB，a2＋b2＞c2.若三角形ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B＜π2，sinA＜cosB，cosA＞sinB.4．在△ABC中，ccosB＋bcosC＝a.5．sinA＝sin(B＋C)，sinA2＝cosB＋C2.6.asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.大题规范类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积[例1](2016·太原高三模拟)(本小题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．大题规范类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面积等于3，∴12absinC＝3，∴ab＝4，(4分)联立a2＋b2－ab＝4ab＝4，解得a＝2，b＝2.(6分)大题规范类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，(8分)①当cosA＝0时，A＝π2；(9分)②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立a2＋b2－ab＝4b＝2a，解得a＝233，b＝433，∴b2＝a2＋c2，∵C＝π3，∴A＝π6.综上所述，A＝π2或A＝π6.(12分)大题规范类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积得分点及踩点说明(1)第一问中，正确应用余弦定理和面积公式，各得2分，错一个只得2分；错2个，第一问不得分．(2)第一问中，若只是a，b之一求解错，第一问只得4分．(3)第二问中，不讨论cosA，只得出A＝π6者，只得到总分10分．(4)第二问中，虽然讨论且正确，但缺少结论：“综上所述……”，扣1分．大题规范类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积确定三角形的形状主要的途径及方法途径一：化边为角途径二：化角为边(1)通过正弦定理实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系主要方法(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积自我挑战大题规范1．(2016·山西省高三质检)在△ABC中，sinA＝sinB＝－cosC.(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．(1)由sinA＝sinB可知A＝B，从而有C＝π－2A.又sinA＝－cosC＝cos2A＝1－2sin2A，∴2sin2A＋sinA－1＝0，∴sinA＝－1(舍去)，或sinA＝12.故A＝B＝π6，C＝2π3.类型一利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积自我挑战大题规范(2)设BC＝2x，则AC＝2x，在△ACM中，AM2＝AC2＋MC2－2AC·MCcosC，∴7＝4x2＋x2－2·2x·x·cos2π3，∴x＝1，∴△ABC的面积S＝12·CA·CB·sinC＝12·2x·2x·sin2π3＝3.类型二解三角形的实际应用大题规范[例2]如右图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝π2，AB＝a，BC＝3a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ.(1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度．类型二解三角形的实际应用大题规范(1)由∠B＝π2，AB＝a，BC＝3a，所以∠BAC＝π3.设MA＝MA′＝xa(0x1)，则MB＝a－xa，所以在Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝a－xaxa＝12，所以x＝23.由于△AMN为等边三角形，所以绿地的面积S＝2×12×23a×23a×sinπ3＝239a2.类型二解三角形的实际应用大题规范(2)因为在Rt△ABC中，∠B＝π2，AB＝a，BC＝3a，所以∠BAC＝π3，所以在△AMN中，∠ANM＝2π3－θ，由正弦定理得ANsinθ＝AMsin2π3－θ，设AM＝ax(0x1)，则A′M＝ax，BM＝a－ax，所以在Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝a－axax＝1－xx，所以x＝12sin2θ，即AM＝a2sin2θ，类型二解三角形的实际应用大题规范所以AN＝a2sinθsin2π3－θ.2sinθsin2π3－θ＝sin2θ＋3sinθcosθ＝12＋32sin2θ－12cos2θ＝12＋sin2θ－π6，因为π4θπ2，所以π32θ－π65π6，所以当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AN的值最小，且AN＝23a，此时绿地公共走道的长度MN＝23a.类型二解三角形的实际应用大题规范对三角函数实际问题的考查常常与三角形的求解有关，需要充分应用正弦、余弦定理，有时也会借助导数来求最值.1实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2实际问题经抽象概括后，若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先求解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设未知量，列方程组进行求解.类型二解三角形的实际应用自我挑战大题规范2.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)类型二解三角形的实际应用自我挑战大题规范过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝22AC＝22×10＝52(海里)．在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，所以BD＝AD×tan60°＝52×3＝56(海里)因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，类型二解三角形的实际应用自我挑战大题规范所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝AC30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝BC13＝5×6－213≈5×2.45－1.4113＝0.4(小时)．因为130.4，所以中国海监船能及时赶到．类型三三角形与三角函数、向量的综合问题大题规范[例3]已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx(x∈R)．(1)当x∈0，π2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值；(3)若c＝3，f(C)＝2，m＝(1，sinA)，n＝(2，sinB)，求m·n的取值范围．类型三三角形与三角函数、向量的综合问题大题规范(1)f(x)＝2cos2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，因为x∈0，π2，所以f(x)的单调递增区间为0，π6.类型三三角形与三角函数、向量的综合问题大题规范(2)由f(C)＝2sin2C＋π6＋1＝2，得sin2C＋π6＝12，而C∈(0，π)，所以2C＋π6∈π6，13π6，所以2C＋π6＝56π，解得C＝π3.因为向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，所以sinAsinB＝12.由正弦定理得ab＝12，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3，即a2＋b2－ab＝9.②联立①②，解得a＝3，b＝23.类型三三角形与三角函数、向量的综合问题大题规范(3)m·n＝(1，sinA)·(2，sinB)＝2＋sinA·sinB∵c＝π3，∴A＋B＝π－π3＝23π，∴B＝23π－A,0A23π∴m·n＝2＋sinAsin23π－A＝2＋sinA·32cosA＋12sinA＝2＋34sin2A＋12sin2A类型三三角形与三角函数、向量的综合问题大题规范＝2＋34sin2A＋12·1－cos2A2＝2＋34sin2A－14cos2A＋14＝12sin2A－π6＋94∴－12sin2A－π6≤1，∴2m·n≤114即m·n的范围为2，114.类型三三角形与三角函数、向量的综合问题大题规范破解平面向量与“三角”交友题的关键：1是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；2是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目、或者利用向量本身的运算来转化条件.类型三三角形与三角函数、向量的综合问题自我挑战大题规范3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．类型三三角形与三角函数、向量的综合问题自我挑战大题规范(1)由BA→·BC→＝2得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解得ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为ac，所以a＝3，c＝2.类型三三角形与三角函数、向量的综合问题自我挑战大题规范(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429，因a＝bc，所以C为锐角，因此cosC＝