第3章-多自由度系统的振动1

第三章多自由度系统的振动主要内容：多自由度系统动力学方程的建立；多自由度系统的固有频率和模态；频率方程的零根和重根情形；多自由度系统的响应。kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。引言k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？3.1多自由度系统运动微分方程一、动静法与单自由度系统类似，我们仍然可以用牛顿第二定律或者达朗贝尔原理，建立各质点的动力平衡方程，先看下面的例子。例1：试建立下图所示弹簧质量系统的动力学方程。1、刚度法解：分别取出二个质点的受力图，如下图11112121()()mxkxkxxPt22212322()()mxkxxkxPt根据达朗贝尔原理，有把两个方程并到一起，写成矩阵形式有1221111223222200kkkmxxPkkkmxxP1x2x1()Ft2()Ft1m2mR10FR20FI111()FtmxI222()FtmxR1I11FmxR2I22Fmx1m2m1()Ft2()FtR1P1FFR2P2FF1m2m1x2x1m2mR1EFR2EF例2：以静力平衡位置为基准，建立图示系统的运动微分方程。R1R1IR1ER1P0FFFFR2R2IR2ER2P0FFFF11x20x11k21k10x21x12k22kR1I11FmxR2I22FmxR1P1FFR2P2FFR1E111122FkxkxR2E211222FkxkxR1R1IR1ER1P1111112210FFFFmxkxkxFR2R2IR2ER2P2221122220FFFFmxkxkxF于是得运动微分方程即111112112221222200mxkkxFmxkkxF写成矩阵形式222112222mxkxkxF111111221mxkxkxF刚度系数可用结构力学方法求得，注意其物理意义。2、柔度法对某些系统，其刚度矩阵的元素可能不太容易求得，而其柔度系数相对来说比较容易求得，而刚度系数和柔度系数之间具有一定的关系，这时我们可以用柔度法求解。柔度法的思想是将惯性力作为一种外力，将系统在任何时刻的位移都看作是由外力和惯性力共同产生的，于是我们可以想办法求系统的位移，得到位移方程。例1：图示两自由度简支梁，不计梁的质量，试建立其动力学方程。已知梁的弯曲刚度为EIij柔度系数，其物理意义为：对系统的第j个广义坐标方向施加一个单位力时，在第i个广义坐标方向产生的位移。解：用柔度法11111112222()()xmxPmxP22111122222()()xmxPmxP利用材料力学公式或结构力学图乘法有331122122187486486llEIEI，动力学方程为33111122220878704867848678()()xmxPtllxmxPtEIEI例2：试建立图示结构的运动方程。解：取图示的位移为未知量1x2x用柔度法11111221Pxmxmx22112222Pxmxmx其中31123lEI32248lEI3122116lEI4124PqlEI425384PqlEI写成矩阵形式，有341122323016483103845xxmlqlxxEImEIllEIEI()qtmm二、Lagrange方程方法将平衡位置取作广义坐标的零值，则广义坐标也表示系统相对平衡位置的偏移。当系统在平衡位置附近作微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设势能V在平衡位置处也取零值，将V在平衡位置附近展成泰勒级数，只保留广义坐标的二级微量，导出：1112nnijijijVkxx20ijijVkxx(,1,2,,)ijnijjikk显然有只讨论系统的稳定平衡状态时，势能在平衡位置处取孤立极小值，则势能表达式为广义坐标的正定二次型。设系统受定常约束，其动能T为广义速度的二次齐次函数1112nnijijijTmxx除非广义速度全部为零，动能均应为正实数，因此动能表达式为广义速度的正定二次型。12TVxKx12TTxMx动能和势能还可以写成如下的矩阵形式显然，质量矩阵为对称正定方阵，以后可以知道，刚度矩阵为对称的半正定矩阵。拉格朗日函数设iQ为与广义坐标12(,,,)ixin对应的非保守力则有LTVddiiiLLQtxx(1,2,,)in拉格朗日方程将动能和势能代入，导出多自由度系统的动力方程1()nijjijjijmxkxQ(1,2,,)in例1：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。2211221122Tmxmx2221121232111()222Vkxkxxkx解：系统的动能和势能为222221122112123211111()22222LTVmxmxkxkxxkxiiidLLQdtxx代入Lagrange方程得1221111223222200kkkmxxPkkkmxxP11112121()()mxkxkxxPt22212332()()mxkxxkxPt1m1k2k2mlx例2：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。解：选图示的广义坐标221211()22Tmxmxl2212211(1cos)22Vkxkxmgl代入拉格朗日方程，注意此时没有非保守力，得12212()()0mmxmlkkx2222sin0mlxmlmgl微小振动sin线性化122122222()()00mmxmlkkxmlxmlmgl即1221222220000mmmlkkxxmlmlmgl例3：图示的多刚性杆悬挂系统作微幅摆动，试建立其运动微分方程组。A12BCmlml解：选图示的广义坐标22222211212222221212111111222122221221362mlmlTmlmllmlmlml11212(1cos)(1cos)(1cos)223(1cos)(1cos)22llVmgmglmglmgl代入拉格朗日方程，得221212212243sin0322sin0232mlmlmglmlmlmgl将其线性化后为12112298303320glgl即11228390032030gl1l2lMFOCaAB1k2kOC1k2kx例4：建立图示汽车底盘模型的动力学方程，假设车身的刚性杆AB长为l，质量为m，绕质心的转动惯量为J。221()2TmxaJ2211221()()2Vkxlkxl解：选图示的广义坐标代入拉格朗日方程，得22211222211221112MklklklklJmamaxxFklklkkmam讨论：１、参考点为杆的质心，令0a则：221122221122111200JMklklklklmxxFklklkk2、参考点特殊位置，设2211=klkl则：22211221200MklklJmamaxxFkkmam可见动力方程组的形式与广义坐标的选取有着密切的关系。思考：两个矩阵的非主对角元素为零意味着什么？三、耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元素称为耦合项质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合以两自由度系统为例112200mMm不存在惯性耦合11122122mmMmm11122122kkKkk11122122mmMmm存在惯性耦合如果系统仅在第一个坐标上产生加速度0,021xx000011112211xmxmm1211111222112110xmxmxmmmm可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力。同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力。耦合的表现形式取决于坐标的选择。问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？212122112122110000PPxxkkxxmm即：若能够，则有：1111111Pxkxm2222222Pxkxm方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X和Y有如下的变换关系：XTY其中T是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：MXKXP那么在坐标Y下的运动微分方程为：TTTTMTYTKTYTP如果恰巧Y是主坐标：TTMTTTKT对角阵这样的T是否存在？如何寻找？四、影响系数法和系统的特性矩阵一般说来，一个多自由度系统的动力平衡方程均可写成如下的形式1()nijjijjijmxkxQ(1,2,,)in写成矩阵形式MxKxQ刚度形式或者PMxxQ柔度形式0Dxx令动力方程中Q=0，得到保守系统自由振动的动力学方程。其中矩阵称作系统的动力矩阵，D不是对称矩阵。DM0MxKx0Mxx或式中1K上式中()ixx()ijMm()ijKk广义坐标列阵质量矩阵(MassMatrix)刚度矩阵(StiffnessMatrix)()ij柔度矩阵(FlexibilityMatrix)动力学方程有明确的物理意义，既弹性恢复力Kx-，惯性力Mx与非保守力Q保持平衡考虑静变形的特殊情况，令0x1nijjijkxQijk：使系统仅产生1jx时，沿ix坐标施加的外力考虑特殊情况，0x1nijjijmxQ：使系统仅产生1jx时，沿i