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第9讲圆1．工件中的圆周角经典例题1明明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，如图所示，哪个是半圆形？为什么？[技法攻略]通过观察可知图(2)是半圆形，理由：90。的圆周角所对的弦是直径．[解题秘籍]要判断哪个是半圆，只要能验证这段弧所对的圆周角色是90。即可．2．足球场上的圆周角经典例题。2《在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时，不考虑其他因素，甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？[技法攻略]迅速回传给乙，让乙射门较好．理由：在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，张角越大，射中的机会就越大．如图所示，，从而B处对MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些．[解题秘籍]要想将球射中球门，射门的张角越大越好，于是我们可以联想圆周角求解．3．航海中的圆周角经典例题3在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？[技法攻略](1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于暗礁区域内（即00内）．理由：连接BE，假设船在00上，矛盾，所以船不可能在④0上；假设船在00外，则盾，所以船不可能在00外．因此，船只能位于00内．(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于暗礁区域外（即00外）．理由如下：假设船在00上矛盾，所以船不可能在00上；假设船在00内，则矛盾，所以船不可能在OO内．因此，船只能位于00外．[解题秘籍]这是一个有实际背景的问题，由题意可知“危险角”实际上就是圆周角．船与两个灯塔的夹角为，船有可能在④0外，也有可能在OO内．当时，船位于暗礁区域内；当时，船位于暗礁区域外．我们可采用反证法进行论证．学以致用1如图所示，在抛掷铅球时，场地周围的内都是危险地带，在A、B两点都有专人看管，且么APB=O．若有人要在直线AB的北侧经过危险区域，则应怎样行走？为什么？1．求角度的大小经典例题1如图为00的内接三角形，AB为00的直径，点[技法攻略]因为AB是直径，解题秘籍]若已知三角形的一边是其外接圆的直径，则可以联想直径所对的圆周角是直角，2．求线段的长度经典例题2如图，00的直径，AD-6，则BC-．而AD-6，所以由勾股定理可求得，所以由勾股定理得BE=3，所以BC-6．[解题秘籍]与三角形外接圆有关的计算问题，求解时一定要注意寻找含30。角的直角三角形，并运用勾股定理求解．3．证明线段的比设AD=x，则BD-2Z，由勾股定理得[解题秘籍]联想是解决数学问题的重要途径，通过联想可以化难为易、化陌生为熟悉，从而从根本上解决问题．。4．证明线段相等经典例题4如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，与圆交于点D，F为BC上的点．(1)求证：DB=DC．(2)请你再补充一个条件，使直线DF-定经过圆心，并说明理由．(2)答案不唯一．补充下列条件中的任意一个均可：①BF=FC，由(1)可知所以DF是BC的中垂线，即DF经过圆心．由(1)可知BF=FC，所以DF是BC的中垂线，即DF经过圆心．③DF平分由(1)可知BF-FC，所以DF是BC的中垂线，即DF经过圆心．[解题秘籍]本题中的第(2)问属于开放型问题，即答案一般不唯一．求解时，可以直接从已知条件入手，运用所学的知识逐步逼近结论．学以致用21．如图所示(1)请写出四个不同类型的正确结论，试找出之间的一种关系式，并予以证明．1．运用切线的定义证明切线的定义告诉我们，若一条直线和圆有唯一的公共点，则这条直线就是圆的切线．这就是说，要证明一条直线和圆相切，只要证明圆心到这条直线的距离等于这个圆的半径即可．又因为0是AB的中点，所以OE是梯形ACDB的中位线，即以C+BD=20E.又因为AB是00的直径，所以OE等于00的半径，故直线l与00相切．[解题秘籍]本例的已知条件中并没有提到直线与圆有没有公共点，即不知道是否经过某条半径的外端，所以无法根据切线的判定定理来证明直线与圆相切．因此，可过圆心作巳知直线的垂线段．这里要特别注意，此时的垂足在直线上，还不知道是否在圆上，只有证明这条垂线段的长等于圆的半径的长，问题才能解决，2．运用切线的判定定理证明经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，这是证明直线是圆的切线最常用的方法，经典例题2如图，在交AB于D，00是的外接圆．求证：AC是④0的切线．[技法攻略]连接OE，因为OE-OB，所以[解题秘籍]本例的已知条件中已经明确了切点，这样只要连接切点和圆心，证明直线垂直于过切点的半径即可，学以致用31弦所对的圆周角经典例题1半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为那么这条弦所对的圆周角的度数等于____[技法攻略]弦所对的圆周角有两种情况：当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为60。；当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为120。，故应填60。或120。．：解题秘籍]因为圆周角的顶点的位置没有确定，所以应分情况讨论．2．点与弦的相对位置经典例题2已知则如图①，若是锐角三角形，则点A和圆心0在弦BC的同侧，可求得如图②，若是钝角三角形，则点A和圆心0在弦BC的异侧，可求得[解题秘籍]因为没有提供图形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，所以应分情况讨论．3．圆心与角的位置经典例题3在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为的度数．[技法攻略]分两种情况：如图，当圆心在的内部时，连接AO并延长，交④0于E．[解题秘籍]要求的大小，通过画出图形，可以发现圆心与所夹角的两条弦的位置有关，所以应分情况讨论．4．平行弦与圆心的位置经典例题4，。在半径为5cm的00中，弦AB-6cm，弦CD-8cm，且求AB与CD之间的距离．[技法攻略]过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC．下面分两种情况：如图①，当AB、CD在圆心0的同侧时，AB和CD之间的距离为EF=4-3=l(cm).如图②，当AB、CD在圆心0的异侧时，AB和CD之间的距离为EF-4+3-7(cm)．所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm.[解题秘籍]两条平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧．因此，要想正确求解，应分两种情况讨论．5．点在弧上的位置经典例题5如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过O(O，o)，A(o，2)，B(2，o)三点，P是[技法攻略]依题意可知是等腰直角三角形，所以下面分两种情况：[解题秘籍]本题虽然提供了图形，然而点P却是一个动点，即点P可能在优弧上，也可能在劣弧上，故要分类讨论．6．圆心距问题经典例题6已知半径为的两个圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距[技法攻略]如图，在中，由勾股定理得下面分两种情况讨论：如图①，当圆心Ol、02在公共弦AB的同侧时如图②，当圆心()1、02在公共弦AB的异侧时所以两圆的圆心距为[解题秘籍J凡涉及圆与圆的位置关系的问题，在没有指明其位置时，应考虑点的各种可能情形，这样才能防止漏解，学以致用4O是AB的中点，00与AC相切于点D，与BC相切于点E.设00交OB于F，连接DF并延长，交CB的延长线于G.是否相等？为什么？(2)求由DG、GE和弧ED所围成的图形的面积（阴影部分）．[解题秘籍]这里应正确理解正方形ODCE的面积减去扇形ODE的面积的含义，不要存在模糊认识．2等量变换的经典例题2如图，扇形AOB的圆心角为90。，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为____[技法攻略]因为OA-OB，四边形OCDE是正方形，所以弧形BED的面积与弧形ACD的面积相等，因为正方形的边长为1，所以其对角线的长为所以阴影部分的面积[解题秘籍]求阴影部分的面积，直接求解有困难时，若能找到与之等量的规则图形，使之化归到规则图形中，则可套用公式求解．3．旋转变换经典例题3如图，以BC为直径，在半径为2、圆心角为90。的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是()[解题秘籍]求比较复杂的图形中的阴影部分的面积时，一定要仔细观察、分析图形的特征，利用变换的方法使问题获解．4．轴对称变换经典例题4如图，已知反比例函数的图象和一个圆，则[技法攻略]因为反比例函数的图象和圆关于y轴对称，所以第二象限的阴影部分与第一象限中的非阴影部分等面积，第三象限的非阴影部分与第四象限中的阴影部分等面积，所以图中整个阴影部分的面积等于两个直角扇形的面积，即一个半圆的面积．由图形知圆的半径是2，所以半圆的面积[解题秘籍]本题在求解过程中利用了轴对称的性质，使分散的图形相对集中，这样使问题简捷获解．5．平移变换经典例题5图①是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，并与小半圆相切，且AB-24，则能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．[技法攻略]能求出阴影部分的面积，理由：设大圆与小圆的半径分别为R、，．．平移小半圆，使它的圆心与大半圆的圆心0重合[解题秘籍]对于此类问题，当逐一求解有困难时，可以尝试利用平移变换的思想方法求解．学以致用’51．如图，六个等圆按甲、乙、丙三种方式摆放，使相邻两圆互相外切，圆心的连线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q，则()A.SPQB.SQPC.SP=QD.S=P=Q2．如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心、AB为半径作弧，得到扇形ABD．分别以AB、AD为直径的半圆交于点E，试求图中阴影部分的面积，1计算正多边形的边长沙经典例题1已知圆内接正方形的边长是2，则这个圆的内接正六边形的边长是．[技法攻略]设圆内接正六边形的边长为z(zO)，则该圆的半径也是x，即直径是2z．又因为正方形的对角线与圆的直径重合，所以正方形的对角线等于2x，所以由勾股定理得解得即正六边形的边长是[解题秘籍]由圆内接正六边形的边长是x，可知道该圆的半径也是z，所以直径是2x.而圆内接正方形的对角线与圆的直径重合，所以运用勾股定理即可求解，2．求正多边形的边数经典例题2如图，AB、PA是④0内接正n边形的相邻两边，切线PM与BA的延长线相交于点M．若，则n-[解题秘籍]要求圆内接正多边形的边数，要求出其相应的一个内角或外角，于是作出圆的半径，利用已知条件即可求解．3．求圆的半径经典例题3如图，在手工制作中，小颖同学把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为()[技法攻略]如图，设圆心为点0，则过点O作，垂足为D,连接OA，则OA平分，且点D是AB的中点，因为AB-12，所以又因为所以在由勾股定理得即该圆的半径为故应选C．[解题秘籍]要求圆的半径，依据题意，就是求边长为12cm的等边三角形外接圆的半径．于是，设圆心为点0，则过点O作，垂足为D，连接OA，则OA平分．且点D是AB的中点，这样在中即可求解．4．求多边形的周长经典例题4如图，三个半径均为辐的圆两两外切，且的每一边都与其中的两个圆相切，那么的周长是()[技法攻略]如图，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足分别为D、E，连接PQ、PB，于是BC-BD+DE+EC.圆的半径为[解题秘籍]要求的周长，只需求BC.分别过点P、Q作BC的垂线，垂足分别为D、E，在中，易求得BD和CE，所以只要求出DE即可．5．求阴影部分的面积经典例题5如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分的面积为[技法攻略]如图，设圆内接正十