第十四章--在险价值(金融工程学-中央财大-李磊宁)

第十四章在险价值精明投资者的标志之一就在于他们对金融市场的变动可能带来的损失在脑海中事先就已有一定的概念。---无名氏VaR的起源VaR最初是1994年由当时的J.P.Morgan总裁建议的。他要求其下属每天下午4:15分向他提出一页报告，说明公司在未来的24小时内总体可能损失有多大。这就是著名的“4.15报告”。DennisWeatherstoneJ.P.Morgan的前主席第一节在险价值的含义一.在险价值的定义:在险价值是按某一确定的置信度，对某一给定的时间期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。案例14-1-1:假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内存在95%概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。将其写作：其中为投资组合价值的变动。表示为:其中为置信度,在上述的例子中是95%。实际上，在VaR中询问的问题是“我们有X%的信心在接下来的T个交易日中损失程度将不会超过多大的”?Prob(-$1,000,000)5%VVProb(VaR)1%VX%XV二.选择合适的VaR参数要使用VaR就必须选择定义中的两个参数——时间长度T和置信度X%。(一)时间长度:新交易发生的频率,收集市场风险数据的频率,对风险头寸套期保值（对冲）的频率（二）置信度X%在计算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。如果我们选用的是95％，如图所示（横轴表示投资组合价值变化范围，而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到如向下箭头表示的位置，该位置使得价值变化的95％落在右边而5％落在左边，这个位置上的横轴数值就是VaR的值。三.VaR的使用VaR的最大特点是：①它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面；②它容易理解；③它询问简单的问题:“情况究竟有多糟糕”(一)被动式地应用：信息报告。最早期的VaR应用是为了度量总风险。它被用来向高层管理报告金融机构的市场交易与投资的业务风险。(二)防御式地应用：控制风险。随后VaR被用来为交易员和营业部门设置头寸限额。VaR的优点之一是它创立了一种在不利市场中对不同的风险业务活动都能进行相互比较的共同标准尺度。(三)积极式地应用：管理风险。现在VaR越来越多地被不同机构用来在交易员、业务单位部门、产品以及整个机构内部之间配置资本。第二节单一资产的在险价值计算假设我们持有某一股票，其价值为S，年波动率为σ。我们想要知道在接下来一个星期内具有99%确定性的最大可能损失是多少。一.波动率换算252552yeardayweekdayyearweek二.单个资产在险价值（VaR）的计算我们必须计算出对应1%=(100-99)%分布最左边的尾部位置。我们只需计算标准正态分布中的对应位置,因为一个正态分布我们都可以通过因子换算来得到。即N(x)=0.01，其中为标准正态分布的累计函数。设为的逆函数，则。参阅表14-2-1,我们得到99%置信度对应于均值的2.33个标准差。既然我们持有价值为S的股票，VaR被确定为：()N()N(0.01)2.3263xN12.3352yearS置信度偏离均值的标准差数99%2.32634298%2.05374897%1.8807996%1.75068695%1.64485390%1.281551表14-2-1:置信度与均值离差之间的关系一般地，如果时间期限是T（以天为单位），而要求的置信度是X％,我们有：其中为单位股票日收益率在险价值(DVaR）；为股票收益率的日波动率（标准差）。VaR-(1)daySNXT％(1)daySNX％day对于较长的时间度量，上述表达式应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为μ，那么上式变成VaR(1)daySTNXT％案例14-2-1:我们持有一个价值为$100万的X公司的股票头寸，X公司股票收益率的日波动率为3%(约为年48%)，假定该投资组合的价值变动是正态分布的并且投资组合价值的预期变动为零(这对很短的时间期限是正确的)，计算10天时间置信度为99％的在险价值。在这个例子中T=10和X=99，，S=$1,000,000。也就是说我们关心的是10天内置信度为99%的可能最大损失。0.03dayVaR-(1)1,000,0000.03(0.01)1030,000(2.33)10221,043.21daySNXTN％第三节投资组合的在险价值计算如果假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的价值变化是线性相关的；并且市场标的变量的价值变化是正态分布的。则我们只要知道投资组合中所有资产的波动率及它们之间的相关系数，那么我们能为整个的投资组合计算VaR。一.线性模型设投资组合由M个资产所组成。第i个资产的价值为，波动率是，而第i个资产和第j个资产之间的相关系数是(其中=1)。因此，该投资组合价值一天的变动为：其中为第i个资产一天的价值变动率，而为常数。iSiij1MiiiPxix/iiixSSiiSii根据统计学的标准结论，投资组合的方差为：投资组合的VaR是：2112212MMPijijijjiMiiijijijiij112i1VaR(1%)(1%)VaRVaRVaRMMPPijijijjiMijijiijNXTNXT案例14-3-1:某一基金持有的投资组合由$100万美元投资于X公司股票和$200万投资于Y公司股票构成。X公司股票的日波动率为3％，而Y公司股票的日波动率为2％，并且X公司股票与Y公司股票收益率之间的相关系数为0.5。计算该投资组合10天时间置信度为99％的在险价值（VaR）112222VaR(1%)(1%)1010.0320.02210.0320.020.52.333.16227770.06082760.448184MMPijijijjiNXTN1,000,000XXS0.03X0.02Y2,000,000YYS0.5XYN=10和X=99单位:百万美圆二.线性模型的适用范围线性模型显然只适用于那些投资组合的价值与构成该组合的市场变量呈线性相关的情况，这些情况包括：–股票的投资组合；债券的投资组合；–外汇的投资组合；–商品实物的投资组合；–外汇远期合约的投资组合；–利率互换和货币互换的投资组合；–由上述工具共同构成的投资组合。三.VaR的缺陷:(一)VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的,这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。(二)VaR的计算至少需要下列数据:投资组合中所有资产的现价和波动率以及它们相互之间的相关关系。如果资产是可交易的我们可以从市场得到资产的价格（这种做法被称为盯市，markingtomarket）。对于场外市场合约我们必须运用某些“已被承认的”模型来得到价格,这样做则是盯模（markingtomodel）。通常必须假设投资组合构成的变动是随机的并服从正态分布。