胡良剑版高等数学实验题型分析

高等数学实验题型分析版权所有1高等数学实验题型分析一、解线性方程组【例1】解线性方程组(先判断方程组解的情况，如果有解，给出所有的解)解：指令行：a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];rank(a),rank([a,b])结果：ans=22秩相等且小于4，说明有无穷多解指令行：x0=a\b,null(a)结果：x0=0010ans=-0.70710-0.70710-0.00000.7071-0.00000.7071故通解为：+【例2】解线性方程组(先判断方程组解的情况，如果有解，给出所有的解)1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx解：指令行：a=[15-1-1;1-213;38-11;1-937];b=[-1;3;1;7];rank(a),rank([ab])结果：ans=22秩相等且小于4，说明有无穷多解指令行：a=[a;zeros(1,4)];b=[b;0];结果：x0=0-0.000001.0000高等数学实验题型分析版权所有2ans=0.4143-0.7440-0.00250.30920.81230.5219-0.41050.2801故通解为：+二、求一元n次方程的解【例】求方程的所有解；.解：指令行：p=[330-205];roots(p)结果：ans=-1.3726+1.5905i-1.3726-1.5905i1.49230.2530三、求函数在某一区间内的零点【例】求函数在区间内的所有零点解：指令行：fun=inline('25*x^5-43*x^3+15','x');fplot(fun,[-2,2]),gridon由图形可知零点在x=-1.5、x=0.8和x=1.2附近指令行：x1=fzero(fun,-1.5),x2=fzero(fun,0.8),x3=fzero(fun,1.2)结果：x1=-1.3935x2=0.8389x3=1.1523三、求函数的极值、单调区间和最值【例1】求下面的函数所在区间的所有极值点，并给出这些函数的单调区间：解：指令行：fun=inline('x*x*cos(3*x*x-2*x-4)','x');fplot(fun,[-2,-1]),gridon由图形可知：两个极小值点分别在x=-1.8和x=-1.3附近一个极大值点在x=-1.6附近先求极小值点指令行：[x1,f1]=fminsearch(fun,-1.8),[x2,f2]=fminsearch(fun,-1.3)结果：x1=-1.8148f1=-3.2815；x2=-1.2624f2=-1.5722高等数学实验题型分析版权所有3再求极大值点指令行：fun2=inline('-x*x*cos(3*x*x-2*x-4)','x');[x3,f3]=fminsearch(fun,-1.6);x3,f3=-f3结果：x3=-1.5578f3=2.4114因此单调减区间：[-2,-1.8148][-1.5578,-1.2624],单调增区间：[-1.8148,-1.5578][-1.2624,-1]【例2】求出函数的最大值点。解：指令行：fun=inline('4*x.^6-30*x.^4+10','x');fplot(fun,[-3,3]),gridon;由图像可知，有一个极大值点，在x=0附近fun2=inline('-4*x^6+30*x^4-10','x');[x3,f3]=fminsearch(fun2,0);y=feval(fun,[-3,x3,3]);max(y)结果：ans=496四、求微积分【例1】用两种方法求积分dxex210221的值解：方法一：指令行：x=0:0.01:1;y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);trapz(x,y)结果：ans=0.3413方法二：指令行：fun=inline(‘1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2)’,’x’);quadl(fun,0,1)结果：ans=0.3413【例2】计算重积分和解：先求二重积分：指令行：fun=inline('x.*exp(x.^2+y.^2)','x','y');dblquad(fun,0,2,-2,2)结果：ans=881.8304再求三重积分：指令行：fun=inline('y.*sin(t)+z.*cos(t)','z','y','t');triplequad(fun,0,pi,0,1,-1,1)结果：ans=8.3050【例3】求积分：22Dxydxdy其中区域(,)|0,0,1Dxyxyxy高等数学实验题型分析版权所有4解：指令行：fun=inline('sqrt(x.*x+y.*y)','x','y');down=inline('0');up=inline('1-x','x');I=dblquad2(fun,0,1,down,up)结果：I=0.2705说明：这里是将化为，再按照例2中方法进行求解【例4】用积分法计算下列椭圆的周长。22223yxx解：此椭圆的标准方程为221139xy参数方程为3(1cos)3sinxtyt，弧长公式为22222200''3(sin)(3cos)sxydtttdt指令行：fun=inline('sqrt(3*sin(t).*sin(t)+9*cos(t).*cos(t))','t');I=quad(fun,0,2*pi)结果：I=15.1342【例5】设f(x,y)=4sin(x3y)，求3,22yxyxf。解：指令行：symsxy;f=diff(4*sin(x^3*y),x);f=diff(f,y);f=subs(f,x,2);f=subs(f,y,3)结果：1063.6【例6】设，求(在区间上考虑)解：指令行：x=1:0.01:3;f=3*exp(x.*x).*cos(x.^3);df=gradient(f,x);[s,t]=min(abs(x-2));df(t)结果：ans=-2.1089e+003五、求级数，符号运算【例】求级数：21121nnnxn解：指令行：symsxn;symsum(2^n/(n+1)*x^(2*n-1),n,1,inf)结果：ans=1/2*(-log(1-2*x^2)-2*x^2)/x^3高等数学实验题型分析版权所有5六、求解微分方程【例1】解微分方程（只用写出t=4时y的值）解：指令行：fun=inline('y-2*t/y','t','y');[t,y]=ode45(fun,[0,4],1);[t,y]结果：t=4.0000时，y=3.0006【例2】解微分方程，，作的图解：函数文件test1.mfunctionf=testa6(t,x)f=[x(2);0.01*x(2)*x(2)-2*x(1)+cos(t)];指令行：[t,y]=ode45(@testa6,[0,5],[0;1])plot(t,y(:,1))结果：略七、矩阵运算【例1】用正交变换化下列二次型为为标准形2221231231323(,,)24446fxxxxxxxxxx解：该二交型的系数矩阵为202043234A指令行:A=[202;04-3;2-3-4];[V,D]=eig(A)结果：V=-0.24690.9435-0.22100.29230.29000.91130.92390.1604-0.3473D=-5.48350002.34010005.1434【例2】对于下列可对角化矩阵，求一个可逆矩阵P，使APP1为对角阵，并写出这个对角阵：高等数学实验题型分析版权所有6解：指令行：A=[32-1;-2-22;36-3];[P,T]=eig(A)结果：P=0.2116-0.8944-0.3215-0.42330.44720.64300.88090.00000.6951T=-5.16230002.00000001.1623T即为A的相似对角阵八、作图题【例1】作图如下方程所确定的图形：22xyzxe(-2x1,-2y1)解：指令行：x=-2:0.01:2;y=x;[x,y]=meshgrid(x,y);z=x.*exp(-x.*x-y.*y);mesh(x,y,z);【例2】作出函数在内的曲面图解：指令行：xa=1:0.01:3;ya=2:0.01:3;[x,y]=meshgrid(xa,ya);z=y.*sqrt(x.*x+y.*y)./x;mesh(x,y,z)八、应用题【例】某公司投资3000万元建成一条生产线，投产后，在时刻的追加成本和追加收益分别为(百万元/年)，(百万元/年)。试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？解：指令行：fplot('19-t^(2/3)',[0,20]);gridon;holdon;fplot('1+t+2*t^(2/3)',[0,20],'r');holdoff;[t,f,h]=fsolve('19-x^(2/3)-1-x-2*x^(2/3)',6)y=inline('19-t.^(2/3)-1-t-2*t.^(2/3)','t');quad(y,0,t)-30结果：最大收益为：ans=25.3929