06第6章--微分方程建模解析

基础部数学教研室第6章微分方程建模数学建模算法与应用基础部数学教研室3/91数学建模微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步1.根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2.找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3.运用这些规律列出方程和定解条件。基础部数学教研室4/91数学建模列方程常见的方法有（1）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。基础部数学教研室5/91数学建模（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。基础部数学教研室6/91数学建模（3）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，做出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。基础部数学教研室7/91数学建模6.1发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。基础部数学教研室8/91数学建模6.1.1为什么不能用一级火箭发射人造卫星首先将问题理想化，假设（1）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（2）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；（3）其它星球对卫星的引力忽略不计。6.1.1.1卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度基础部数学教研室9/91数学建模建模与求解设地球半径为R，质量为M；卫星轨道半径为r，卫星质量为m。根据假设（2）和（3），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为2GMmFr，（6.1）其中G为引力常数。基础部数学教研室10/91数学建模为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（6.1）式得2GMmmgR或2GMRg，再代入（6.1）式，得2RFmgr，（6.2）其中29.81(m/s)g为重力加速度。基础部数学教研室11/91数学建模根据假设（1），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v，则其向心力为2/mvr，因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有22Rmvmgrr，由此便推得卫星距地面为()kmrR，必须的最低速度的数学模型为gvRr，（6.3）基础部数学教研室12/91数学建模取6400kmR，600kmrR，代入上式，得7.6km/sv，即要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s。基础部数学教研室13/91数学建模火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为使问题简化，假设（1）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。（2）在t时刻火箭质量为()mt，速度为()vt，且均为时间t的连续可微函数；（3）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u。6.1.1.2火箭推进力及升空速度基础部数学教研室14/91数学建模建模与分析由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在(,)ttt内的减少量可由泰勒展开式表示为()()()dmmttmttotdt.（6.4）因为喷出的气体相对于地球的速度为()vtu，则由动量守恒定律有()()()()()(())dmmtvtmttvtttotvtudt（6.5）基础部数学教研室15/91数学建模从（6.4）式和（6.5）式可得火箭推进力的数学模型为dvdmmudtdt.（6.6）令0t时，0(0)vv，0(0)mm，求解上式，得火箭升空速度模型00()ln()mvtvumt.（6.7）基础部数学教研室16/91数学建模（6.6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。（6.7）式表明，在00,vm一定的条件下，升空速度()vt由喷气速度（相对火箭）u及质量比0/()mmt决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u值；从结构上设法减少()mt。基础部数学教研室17/91数学建模火箭—卫星系统的质量可分为三部分：pm（有效负载，如卫星），Fm（燃料质量），sm（结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）。一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设（1）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度3ukm/s及19sFsmmm.（2）初速度0v忽略不计，即00v。6.1.1.3一级火箭末速度上限基础部数学教研室18/91数学建模建模与求解因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为psmm，由（6.7）式及假设（2）得到末速度为0lnpsmvumm，（6.8）令0()()sFspmmmmm，代入上式，得00ln(1)pmvumm，（6.9）基础部数学教研室19/91数学建模于是，当卫星脱离火箭，即0pm时，便得火箭末速度上限的数学模型为01lnvu.由假设（1），取3ukm，19，便得火箭速度上限03ln96.6vkm/s.因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。基础部数学教研室20/91数学建模从前面对问题的假设和分析可以看出，火箭推进力自始至终在加速整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，因而效益低，浪费大。所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的数学模型。6.1.2理想火箭模型基础部数学教研室21/91数学建模假设在(,)ttt时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以与1的比例同时进行。建模与分析由动量守恒定律，有()()()()()dmmtvtmttvtttvtdt(1)(())()dmtvtuotdt，基础部数学教研室22/91数学建模由上式可得理想火箭的数学模型为()()(1)dvtdmmtudtdt，（6.10）及(0)0v，0(0)mm，解之得0()(1)ln()mvtumt.（6.11）基础部数学教研室23/91数学建模由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量pm，从而最终速度的数学模型为0()(1)lnpmvtum.（6.12）（6.12）式表明，当0m足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使10.5vkm/s才行，如果取3ukm/s，0.1，则可推出0/50pmm，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。基础部数学教研室24/91数学建模理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。多级火箭是自末级开始，逐级燃烧，当第i级燃料烧尽时，第1i级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级。用im表示第i级火箭质量，pm表示有效负载。6.1.3多级火箭卫星系统基础部数学教研室25/91数学建模为了简单起见，先作如下假设（1）设各级火箭具有相同的，im表示第i级的结构质量，(1)im表示第i级的燃料质量。（2）喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，该比值记为k。基础部数学教研室26/91数学建模先考虑二级火箭。由（6.7）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为121121lnln1ppmmmkvuummmk，在第二级火箭燃烧完时，其速度为22121ln2ln1ppmmkvvuummk.（6.13）基础部数学教研室27/91数学建模仍取3ukm/s，0.1，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度7.9km/s，对于二级火箭，欲使210.5vkm/s，由（6.13）式得16ln10.50.11kk，解之得11.2k，这时1220(1)149pppmmmmkmm.基础部数学教研室28/91数学建模同理，可推出三级火箭313ln1kvuk，欲使310.5vkm/s，应该3.25k，从而0/77pmm。与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。基础部数学教研室29/91数学建模现记n级火箭的总质量（包括有效负载pm）为0m，在相同假设下（3ukm/s，10.5v末km/s，0.1），可以算出相应的0/pmm值，现将计算结果列于表6.1中。表6.1质量比数据n（级数）12345…∞0/pmm×149776560…50实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是最好的方案。基础部数学教研室30/91数学建模1789年，英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了Malthus模型。模型假设（1）设()xt表示t时刻的人口数，且()xt连续可微。（2）人口的增长率r是常数（增长率=出生率-死亡率）。（3）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。6.2人口模型6.2.1Malthus模型基础部数学教研室31/91数学建模建模与求解由假设，t时刻到tt时刻人口的增量为()()()xttxtrxtt，于是得0,(0),dxrxdtxx（6.14）其解为0()rtxtxe.(6.15)基础部数学教研室32/91数学建模模型评价考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为93.0610，在1961～1970年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为2%，则（6.15）式可写为90.02(1961)()3.0610txte.(6.16)根据1700～1961年间世界人口统计数据，发现这些数据与（6.16）式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每35年增加1倍，而（6.16）式算出每34.6年增加1倍。基础部数学教研室33/91数学建模但是，利用（6.16）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论，当2670t年时，15()4.410xt，即4400万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少20人。显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率r的估计过高。由此，可以对r是常数的假设提出疑问。基础部数学教研室34/91数学建模如何对增长率r进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境