中考几何辅助线专题---遇到中点时的辅助线

第一节等腰底中垂分解题方法技巧1.等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2.有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是BAC的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。例1已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。求证：BFFD.例2如图，AB=AE,ABCAED,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AFCD（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。练习1.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于（）A65B95C125D1652.已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3.已知:如图，在等腰ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作,,AEDEAFDF且AE=AF.求证：EDBFDC第二节斜边中是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在RtABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。如图，在RtABC中，AB=2BC,作斜边AB的中线CD，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到BCD为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。例如图，在RtABC中，AB=AC,90BAC,O为BC的中点。（1）写出点O到ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系：（不需证明）（2）如果点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN的形状，并证明你的结论。练习1.如图，在ABC中，BE,CF分别为边AC,AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。求证：DMEF2.已知：ABCD中，DEAB于E交AC于F,且AD=12FC.求证：3DABACD3.已知：ABC中，2,BCADBC于D,M为BC的中点。求证：DM=12AB第三节遇中线可倍长解题方法技巧1.将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法如图，AD为ABC的中线，如延长AD至E，使DE=AD.连接BE,则ADCEDB，再连接CE，则四边形ABEC是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。2.将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形如图，E为ABC中线AD上一点，如延长AD至F使DF=DE.连接BF,CF,则四边形BFCE是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。3.可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等4.有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形如图，O为AB中点，若延长CO至D使OD=CO,则ACOBDO(COBDOA),四边形ADBC为平行四边形。例1已知：如图，AD为ABC的中线，AE=EF.求证：BF=AC例2已知：如图，在ABC中，90C，M为AB的中点，P,Q分别在AC,BC上，且PMQM于M,求证：PQ2=AP2+BQ2例3已知：如图，ABC的边BC的中点为N,过A的任一直线ADBD于D,CEAD于E.求证：NE=ND.练习1.已知：AD为ABC的中线，F为AC上一点，连接BF交AD于E.求证：2AEAFEDFC2.已知：在ABC中，AD为中线，并且90BAD,45DAC.求证：AB=2AD3.已知：如图，ABC中，过AB的中点F作DEBC,垂足为E,交CA的延长线于点D.若EF=3，BE=4,45C,求证：DF:FE的值。第四节同中垂构全等解题方法技巧有三角形中线时，可过中线所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形如图，AN为的中线，若作BDAN的延长线于D，作CEAN于E,则有BDNCEN.例已知：如图，在ABC中，90,,BACABACADCDAFBD，于E交BC于F.求证：BF=2FC.练习1.已知：如图，在ABC中，BD=DC,BF交AD,AC于E,F,若AF=EF,求证：BE=AC.2.已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，直线EGAD于点F,且交AB于E,交AC于G.求证：2+ABACADAEAGAF第五节两中点中位线解题方法技巧在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。通常有以下几种情况时作中位线。1.有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线如图，D,E,F分别是ABC的三边中点，连接DE,EF,FD，利用三角形中位线性质得线段之间大小关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。2.有一边中点，并且已知或求证中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，构造三角形的中位线。如图，在ABC中，若2,BCADBC,E为BC边的中点，则取AC边中点F,连接EF,DF,利用三角形中位线得到平行关系。3.连接圆心与弦的中点，构造三角形的中位线如图，C为O中弦AB的中点，作直径AD，连接OC,DB,则OC//BD且OC=12BD，从而为证题创造平行条件与线段的倍，半关系。4.有一腰中点，可另取另一腰中点，利用梯形中位线有关性质证明如图，在梯形ABCD中，AD//BC,F为CD的中点，取AB的中点E,连接EF，则EF//AD//BC,EF=12(AD+BC)例1已知：如图，E,F分别为四边形ABCD对角线的中点，ABCD.求证：EF12(AB-CD)例2如图，在四边形ABCD中，E,F并分别是AD,BC的中点，G,H分别是对角线BD,AC的中点。求证：EF与GH互相平分。例3如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD,另一组对边ADBC.分别取AD,BC的中点M,N,连接MN，则AB与MN的关系是（）A.AB=MNB.ABMNC.ABMND.上述三种情况都有可能练习1.如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BE//AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点。（1）求证：DF=FE(2)若AC=2CF，60,ADCACDC，求BE的长。2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别为BC,AD的中点，BA,CD的延长线分别交EF的延长线于M,N.求证：BMECNE.3.已知：如图，五边形ABCDE中，90,ABCAEDBACEAD，F为CD的中点。求证：BF=EF。第六节腰中平造全等解题方法技巧过梯形一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形的问题来解决如图，在梯形ABCD中，AD//BC,E为CD的中点，如过E作GF//AB交BC于F，交AD的延长线于G。////,ADBCABFGADBCGDCDCBDEECDEGCEFDEGCEFDGCF四边形为平行四边形。这样就把梯形ABCD割补成平行四边形了，可利用平行四边形的性质证题。例已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,EF为中位线。求证：14SAEFS梯形ABCD练习1.已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,E为DC的中点求证：SABE=12S梯形ABCD2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,9045,14BCADBC，，，E为AB的中点，EF//DC交BC于点F.求EF的长。第七节延顶中有全等解题方法技巧在梯形中，有一腰中点时，连接一顶点与此中点并延长与一底的延长线相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，在梯形ABCD中，AD//BC,E为CD的中点，如连接AE，并延长与BC的延长线交于点N.//,,,ADBCNDANDECEAEDNECADENCEAEENADCN这样相当于把梯形ABCD割补成ABN，可利用三角形的有关定理证题。例已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD,ABDC,M为AD的中点，且BMCM。求证：BM平分ABC，CM平分DCB且AB+CD=BC练习已知：梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD+BC,M为CD的中点求证：BM平分CBA第八节底中现平腰见解题方法技巧有底的中点时，常过此点引两腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,E为AD的中点，如过E作EF//AB,EN//CD,分别交BC于F,N,则得到,ABFEENCDEFN和,这样可以利用平行四边形和三角形的有关性质证题。例已知：在梯形ABCD中，AB//CD,ABCD,90AB,E,F分别是AB,CD的中点求证：1()2EFABCD练习1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,E,F分别是AD,BC的中点，且12EFBCAD.求.BC2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,P,Q分别为AD,BC的中点。求证：PQBC第九节对角线顶中线解题方法技巧在梯形中，有对角线中点时，常把一顶点和对角线中点连接，并延长与一底相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,E为AC的中点，如连接DE,并延长交BC于N.//,,ADBCDACBCAAEDNECAEECAEDCENDENEADCN例已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD,E,F分别是AC,BD的中点。求证：EF//AB,且12EFABCD练习1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,中位线EF与对角线AC,BD交于M,N两点，若EF=18cm,MN=8cm,则AB的长等于（）A.10cmB.13cmC.20cmD.26cm2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC,12ADBC,点O为AC的中点。求证：OD//AB第十节弧弦中心中连解题方法技巧1.连经过弧中点的半径，可以利用垂径定理得推论证题如图，AB=BC，连接AC,OB,则有OBAC,且OB垂直平分AC，从而能为证题创造垂直和线段中点的条件。2.连等弧对的弦，根据圆心角，弧，弦，弦心距关系定理证题如图，B为AC的中点，连接AB,BC,则有AB=CB,从而为证题创造线段相等条件。3.连等弧对的圆心角（或圆周角）利用圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及同弧（或等弧）所对圆心角与圆周角关系定理的推论证题如图，连接OA,OB,OC,AD,BD,CD12,2ABBCAOBBOCADBADCADBCDBAOB从而为证明角相等（或倍，半关系）创造条件4.连接圆心与弦的中点，利用垂径定理得推论可得到垂直条件如图，点C是弦AB的中点，连接OC,则有OCAB例1如图，O的半径为3，M为AB的中点，N为CD的中点，弦MN交AB于F，交CD于G,延长AB,CD相交于点E.若MN=33,求E的度数。例2不过圆心的直线lO交于C,D两点，AB是O的直径，AEl于E,BFl于F。（1）请你在下面三个图中，分别画出满足上述三个条件的具有不同位置关系的图形（2）请你观察（1）中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得到的结论练习1.如图所示，O是等边三角形ABC的外接圆，O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A.3B.5C.23D.252.如图，AB是O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是3.本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A,B,C三根木柱，使得A,B之间的距离与A,C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图，请你帮他们求出滴水湖的半径。5.已知：如图，M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设O的半径为4cm，43M