均值不等式公开课课件

2abab§3.4基本不等式:2002年第24届国际数学家大会在北京举行走进智者挑战自我会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会在北京举行走进智者挑战自我走进智者挑战自我思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些不等关系？ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：S_____S′问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：证明：——比较法：如何证明不等式：002ababa,b（）2abab22122abab212ab当且仅当a=b时取“=”0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab1.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数1.代数证明:2.几何意义：半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当a=b时，等号成立）算术平均数几何平均数2.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项基本不等式