平稳随机过程的功率谱密度

平稳随机过程的功率谱密度一、平稳过程的功率谱密度二、谱密度的性质三、互谱密度及其性质假如x(t)满足狄利克雷(Dirichlet)条件,且绝对可积,即,d)(ttx那么x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱.de)()(ittxFtx且同时有傅里叶逆变换.de)(π21)(itxFtx一、平稳过程的功率谱密度,),(ttx设有时间函数一般是复数量,其共轭函数)()(*xxFF1.平均功率和能量谱密度)Parseval()()(之间成立有帕塞瓦尔和在xFtx等式:,d)(π21d)(22xFttx上的总能量在),()(tx称为x(t)的能量谱密度帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.平均功率),()(d)(21lim2在称为txttxTTTT上的平均功率.平均功率的谱表示式由给定的x(t)构造一个截尾函数.0,),()(TtTttxtxT绝对可积的傅里叶变换为)(txTTTttTxttxttxTFde)(de)(),(ii它的帕塞瓦尔等式.d),(π21d)(22TFttxxT变形得.d),(π21d)(2122TFttxTxTT.d),(21limπ21d)(21lim22TFTttxTxTTTT上的平均功率在),()(tx称为x(t)的平均功率谱密度2.平稳过程的平均功率和能量谱密度定义为平稳过程将TTTttXTEd)(21lim2.)(的平均功率tX交换定义式中积分与均值的运算顺序,并注意到平稳过程的均方值是常数,于是TTTttXTEd)(21lim2TTxTttXET22d)]([21lim平稳过程的平均功率该过程的均方值.d}),({21limπ2122TFETXTX平稳过程X(t)的功率谱密度,.)()(XXXSS或记为}.),({21lim)(2TFETSXTX即d)(π212XXS称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式.也简称为自谱密度或谱密度,它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征.物理意义:表示X(t)的平均功率关于频率的分布.二、谱密度的性质性质1.)(的实的、非负的偶函数是XS性质2.)()(是一傅里叶变换对和自相关函数RSX,de)()(iXXRS即.de)(π21)(iXXSR它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式.说明1.平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,维纳-辛钦公式成立.)()(.2RSX和都是偶函数,所以维纳-辛钦公式还可以写成如下的形式:,dcos)(2)(XXRS.dcos)(π1)(XXSR的谱表示式.它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t)的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间的联系.在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题.3.维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函数例1已知谱密度,9104)(242XS求平稳过程X(t)的自相关函数和均方值.解由公式知自相关函数de9104π21)(i242XR.de)1)(9(4π21i222利用留数定理,可算得处的留数之和在　　　　　　　　i3,ie)1)(1)(i3)(i3(4πi2π21)(i2XR),e5e9(4813均方值为.247)0(2XXR说明,)(0222220222220bbaaSSmmmnnnX.,,)0(0分母无实根其中nmS有理谱密度在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程,它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变换或逆变换不存在,此时如果允许谱密度和自相关函数含有δ函数,有关实际问题仍能得到圆满解决.在这种情况下,自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程,其谱密度都是离散的.求自相关函数ecos2)(212baRV所对应谱密度).(VS解所要求的谱密度为.2)]()([2π)(222002baSV相应的谱密度如图所示:0)(vsab/220o2π2a此图说明了谱密度是如何表明噪声以外的周期信号的.例2白噪声均值为零而谱密度为正常数,即)0(,)(00SSSX的平稳过程X(t)称为白噪声过程,简称白噪声.其名出于白光具有均匀光谱的缘故.2.白噪声的自相关函数de)(π21)(iXXSRdeπ2i0S).(0S1.定义是不相关的.(1)白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为)()(,.2121tXtXtt和时此过程在函数的随机过程说明(2)白噪声是一种理想化的数学模型.它的平均功率是无限的.白噪声在数学处理上具有简单、方便优点.如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内,具有比较“平坦”的谱密度,那就可把它近似地当作白噪声来处理.三、互谱密度及其性质互谱密度的定义设X(t)和Y(t)是两个平稳相关的随机过程.称)},(),({21lim)(TFTFETSYXTXY为平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度.说明.的实的、正的偶函数互谱密度不再是互谱密度的性质)()()(.1*YXXYXYSSS和2.在互相关函数)(XYR绝对可积的条件下,有如下维纳-辛钦公式,de)()(iXYXYRS.de)(π21)(iXYXYSR,)](Re[)](Re[.3的偶函数是和YXXYSS.)](Im[)](Im[的奇函数是和YXXYSS4.互谱密度与自谱密度之间成立有不等式).()()(2YXXYSSS注意(1)在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构时,要运用互谱密度.例如:),()()(tYtXtZ其中X(t)和Y(t)是平稳相关的.Z(t)的自相关函数是).()()()()(YYYXXYXXZZRRRRR根据维纳-辛钦公式,Z(t)的自谱密度为)()()()()(YYYXXYXXZZSSSSS)].(Re[2)()(XYYYXXSSS(2)互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义,引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性.例如:对具有零均值的平稳过程X(t)和Y(t),.)()(0)(不相关是等价的和与tYtXSXY根据性质(2),.,,)()()(计算它的功率谱密度为常数其中的相关函数设平稳过程SSRtXX解de)()(iSSY.e0iSS功率谱密度为常数的平稳过程是白噪声.例3.,cos)()(2计算它的功率谱密度的相关函数设平稳过程aRtXX解,)ee(2)()(ii2aaXXRR改写为将知，傅里叶变换对的关系可互为与由)()(XXRS,d)(eπ21)ee(2iii2XaaS)).()((π)(2aaSX＝故例4.,9104)()(242均功率计算它的相关函数和平的功率谱密度设平稳过程XStX解方法1,d9104eπ21)(242iXR:0先考虑,091024zz令,i,i3z得零点例5i,9104eResπi2π21)(242izzzRzXi3,9104eRes242izzzz3ei485ei163i),e5e9(4813,i,i3点是在上半平面的两个零其中z有对任意的是偶函数由于,,)(XR)(XR).e5e9(4813平均功率为.247)0(XR9104)(242XS,9185118322方法291851183)(22FFRX9185118322FF).e5e9(4813