初中三角函数知识点+题型总结+课后练习

-1-/12锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cotA(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313不存在cot不存在31330)90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边ACBbacA90B90得由BA-2-/12锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC求：AB及OC的长．3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，53sinAOC(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．4.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC,则tanEFC∠的值为()Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453.如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA，则AD的长为()A．2B．2C．1D．224.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.ADECBF第18题图DABC-3-/12类型三.化斜三角形为直角三角形例1（2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，31sinA(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．类型四：利用网格构造直角三角形例1（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应练习：1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.特殊角的三角函数值例1．求下列各式的值30cos245sin60tan2=.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°=CBA-4-/12030tan2345sin60cos221=60tan45sin230cos2tan45sin301cos60=在ABC中，若0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数例2．求适合下列条件的锐角．(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(6（5）已知为锐角，且3)30tan(0，求tan的值（）在ABC中，若0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且sinA21，那么∠A的取值范围是A.0°A30°B.30°A＜60°C.60°A90°D.30°A90°2.已知A为锐角，且030sincosA，则（）A.0°A60°B.30°A60°C.60°A90°D.30°A90°例4.三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．-5-/123.已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：BAcossin______；BAsincos_______；BAtan1tan_____；BAtantan1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．类型一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，235c，求∠A、∠B，b；(2)已知：32a，2b，求∠A、∠B，c；(3)已知：32sinA，6c，求a、b；(4)已知：,9,23tanbB求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积,312S求a、b、c及∠B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．-6-/12类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m23DE，求点B到地面的垂直距离BC．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知ABCDE-7-/12识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）类型四.坡度与坡角例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m类型五.方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=63．(1)求BD的长；(2)求AD的长．（2011东一）2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE，求CF的长．三角函数与圆：-8-/12CBA1．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45（延庆）19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O的半径。（2013朝阳期末）21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若54Ccos,DE=9，求BF的长．作业：（昌平）1．已知21sinA，则锐角A的度数是A．75B．60C．45D．30（西城北）2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为A．55B．255C．12D．2(房山)3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（）.A．35B.45C.34D.43(大兴)4.若sin32，则锐角＝.(石景山)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，则tanB的值是A．23B．32C．255D．21313（丰台）5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是DBOACDCBAOyx第8题图CFDOBEα-9-/12A．21B．2C．25D．552(大兴)5.△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是A.35B.34C.43D.45(通县)4．如图，在直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，40