插值法-第二次程序题

插值法题目1：对Runge函数22511)(xxR在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和R(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的20次Newton插值多项式的图像。(2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(iixi，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：%计算均差x=[-1:0.1:1];n=length(x);symszfori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endN=zeros(n,n);N(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendfort=1:nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1);fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%作图a=[-1:0.001:1];n=length(a);fori=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'r');c=[-0.6:0.001:0.6];n=length(c);fori=1:nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i));endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d,'k',c,fx,'r');结果与分析：由下图可以看出，在区间[-0.6,0.6]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Runge现象。主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项)()!1()()（1)1(xnfxRnnn不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。(2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(iixi，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clear;%插值点fori=1:21x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));end%构造插值基函数symsz;temp=1;fori=1:nlx=1;forj=1:nifi~=jtemp=(z-x(j))/(x(i)-x(j));Runge函数插值多项式lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end%插值多项式l=l';L=y*l;%作图a=[-1:0.01:1];n=length(a);fori=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(L,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'xr');结果与分析：如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。主要原因是其多项式误差为)1()!1(21)（-)(nnnfnxLxf。Runge函数XL插值多项式Runge函数XL插值多项式Newton插值多项式(3)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1:0.1:1];n=length(x);symszfori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));end%构造分段线性插值多项式fori=1:n-1l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1)%l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i))end%作图fori=1:n-1a=[x(i):0.01:x(i+1)];f=subs(l(i),z,a)plot(a,f,'k')holdonend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。利用线性插值多项式的误差估计：)2(2max8h)（fxRn(4)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1:0.1:1];n=length(x);symsz;fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i));r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);fori=1:n……..分段线性Runge函数G(i,i)=2;endfori=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);fori=2:n-1d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i)+h(i-1));endsymsuv;u=diff(1/(1+25*v*v),v);a=subs(u,v,x(1));b=subs(u,v,x(n));d(1)=((y(2)-y(1))/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1))/h(n-1))/h(n-1)*6;d=d';M=inv(G)*d;fori=1:n-1s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)^3/0.6+M(i+1)*(z-x(i))^3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i))/0.1;endfori=1:n-1a=[x(i):0.01:x(i+1)];f=subs(s(i),z,a);plot(a,f,'xr')holdonend结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如下：可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。得到的函数十分接近被插值函数。XXXXRunge函数三次样条题目2：对函数：在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的20次Newton插值多项式的图像。(2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(iixi，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%计算均差x=[-1:0.1:1];n=length(x);symsz;y=zeros(1,n)fori=1:10y(i)=sin(pi*x(i));endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i));endfori=15:ny(i)=0;endN=zeros(n,n);N(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendfort=1:nc(t)=N(t,t);end%构造插值多项式f=N(1,1);fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%作图v=linspace(-1,0,50);u=sin(pi*v);plot(v,u,'k')holdonv=linspace(0,0.5,25);u=cos(pi*v);plot(v,u,'k')holdonv=linspace(0.5,1,10000);u=0;plot(v,u,'k')holdona=[-1:0.001:1];fx=subs(f,z,a);plot(a,fx,'r');结果与分析：等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下：可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。出现了Runge现象。见下图被插值函数插值多项式(2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(iixi，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%求插值节点fori=1:21x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);y=zeros(1,n);fori=1:nifx(i)0y(i)=sin(pi*x(i));elseifx(i)0.5y(i)=0;elsey(i)=cos(pi*x(i));endend%插值基函数symsz;temp=1;fori=1:nlx=1;forj=1:n被插值函数插值多项式ifi~=jtemp=(z-x(j))/(x(i)-x(j));lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end%插值多项式l=l';L=y*l;%作图a=[-1:0.01:1];fx=subs(L,z,a);plot(a,fx,'xr');结果与分析：如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。被插值函数插值多项式(3)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1:0.1:1];n=length(x);symsz;fori=1:10y(i)=sin(pi*x(i));endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i));endfori=15:ny(i)=0;end%构造插值多项式fori=1:n-1l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1);%l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i));end%作图fori=1:n-1a=[x(i):0.01:x(i+1)];f=subs(l(i),z,a);plot(a,f,'xr')holdonend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。(4)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=[-1:0.1:1];n=length(x);symszfori=1:10y(i)=sin(pi*x(i));endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i));endfori=15:ny(i)=0;endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);end被插值函数插值多项式fori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i));r(i)=1-u(i);endG=zeros(n