第4章结构的位移计算

第4章结构的位移计算本章简要论述了结构位移的分类及位移计算，并根据虚功原理建立了结构位移计算的一般公式。针对由于荷载、温度变化、支座位移等各种不同因素产生的结构位移，给出了各种特殊情况下的位移计算简化公式。图乘法是结构位移计算公式中使用的一个简便、有效、实用的计算方法，应用此方法，可使复杂的计算得以简化。本章所建立的互等定理是后面几章学习的基础。本章的重点是如何分析结构的位移，并利用图乘法准确、快捷地计算结构的指定位移。4.1概述4.1.1结构位移的概念任何结构都是由可变形固体材料组成的，在外部因素的作用下都会产生变形和位移。变形是指结构原有形状的变化。位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动，位移包括线位移和角位移两种。线位移是指结构上某点沿直线方向相对于原位置移动的距离，结构上两点之间沿两点连线方向相对位置的改变量，称为相对线位移；角位移是指杆件某截面相对于原位置转动的角度，结构上两个截面相对转动的角度称为相对角位移。图4-1（a）所示刚架在荷载作用下发生如虚线所示的变形，截面A的形心从A点移动到了A′点，线段AA′称为A点的线位移，记为AΔ，用水平线位移AxΔ和竖向线位移AyΔ两个分量来表示（图4-1（b））。同时截面A所转动的角度称为截面A的角位移，用Aθ表示。又如图4-1（c）所示刚架，在荷载作用下发生如虚线所示变形，截面A发生了Aθ的角位移。同时截面B发生了Bθ的角位移，这两个截面方向相反的角位移之和称为截面A、B的相对角位移，即ABABθθθ=+。同理，C、D两点的水平线位移分别为CΔ、DΔ，这两个指向相反的水平位移之和称为C、D两点的水平相对线位移，即CDCDΔ=Δ+Δ。图4-1刚架变形4.1.2结构位移产生的原因使结构产生位移的外界因素主要有：1.荷载结构在荷载作用下产生内力，则材料发生应变，从而使结构产生位移。第4章结构的位移计算992.温度变化当结构受到温度变化的影响时，材料根据热胀冷缩的原理，会产生位移。3.支座位移当地基发生沉降时，结构的支座会产生移动及转动，从而使结构产生位移。4.制造误差由于结构构件尺寸的原始制造误差，使得结构在组装时产生位移。另外，其他如材料的干缩等原因也会使结构产生位移。4.1.3计算结构位移的目的结构位移计算在工程上具有重要意义。1.校核结构的刚度在结构设计中，除了应满足结构的强度要求外，还需满足结构的刚度要求。结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。因此，在结构设计时，要计算结构的位移，控制结构变形不超过规范规定的容许值，这一计算过程称为刚度验算。如屋盖和楼盖梁的挠度容许值为梁跨度的1200～1400，而吊车梁的挠度容许值规定为梁跨度的1600；又如铁路桥涵设计规范规定，在竖向静荷载作用下桥梁的最大挠度，简支钢板梁不得超过跨度的1800，简支钢桁梁不得超过跨度的1900。2.计算超静定结构在计算超静定结构的反力和内力时，由于结构未知力的个数超过了静力平衡方程的数目，需根据变形协调条件建立补充方程，则必须计算结构的位移。3.保证施工过程在结构的施工过程中，为确保施工安全和拼装就位，也常常需要知道结构的位移情况。例如图4-2所示三孔钢桁梁的拼装，在梁的自重、临时轨道、吊机等荷载作用下，悬臂部分将下垂而发生竖向位移Af。若Af过大，则吊机容易滚走，同时梁也不能按设计要求就位。因此，必须先行计算Af的数值，以便采取相应措施，确保施工安全和拼装就位。图4-2三孔钢桁梁4.研究结构的振动和稳定在结构的动力计算和稳定计算中，通常需要计算结构的位移。4.1.4结构位移计算的有关假设在结构位移计算中，常采用一些基本假定以简化计算工作。（1）结构材料处于弹性工作阶段，服从胡克定律，即应力应变成线性关系。（2）结构满足小变形假设，在建立平衡方程时，仍然可用结构原有几何尺寸进行计算。（3）结构各部分之间为理想连接，不计摩擦阻力影响。结构力学100对于大多数实际工程结构，按照上述假定计算的结果具有足够的精确度。满足上述条件的理想化结构体系，其位移与荷载之间为线性关系，称为线性变形体系，其位移计算可以应用叠加原理。4.2变形体的虚功原理4.2.1虚功1．功和虚功常力所作的功定义为该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。若力在自身引起的位移上作功，所作的功称为实功；若力在彼此无关的位移上作功，所作的功称为虚功。虚功有两种情况：其一，在作功的力与位移中，有一个是虚设的；其二，力与位移两者均是实际存在的，但彼此无关。2.广义力和广义位移一般情况下，虚功也可以表示成PWF=Δ（4-1）式中W为虚功，单位为Nm⋅，PF为广义力，Δ为广义位移。如果PF是一个力，相应的Δ为沿这个力作用线方向的线位移；如果PF是一个力偶，相应的Δ为沿力偶作用方向的角位移；如果一组力经历相应的位移作功，则一组力可以用一个符号PF表示，相应的位移也可用一个符号Δ表示，这种扩大了的力和位移分别称为广义力和广义位移。在图4-3（a）中，简支梁在C点作用一竖向力PF，让它经历图4-3（c）所示的位移作功，相应的位移Δ则是在C点沿PF力作用方向的线位移（图4-3（c））；在图4-3（b）中，简支梁在B端作用一个力偶M，让它经历图4-4（c）所示的位移作功，相应的位移Δ则是沿M作用方向的B端截面的转角θ（图4-3（c））；在图4-3（a）、（b）左图中一对方向相反的力P1F和P2F（P1P2PFFF==），构成广义力PF，则相应的广义位移Δ为刚架在A点和B点沿力方向的位移之和12Δ=Δ+Δ（图4-4（a）、（b）右图）。类似地，如果广义力PF是一对力偶，则相应的广义位移Δ为沿这一对力偶作用方向的角位移之和。如图4-4（c）所示，1M和2M（12MMM==）是广义力，则相应的广义位移为刚架铰C左、右两侧截面沿力偶方向的转角1θ和2θ之和，即铰C左、右两侧截面的相对转角。图4-3力和相应的位移第4章结构的位移计算101（a）A、B两点一对方向相反的水平力，A、B两点的水平相对位移（b）A、B两点一对方向相反的竖向力，A、B两点的竖向相对位移（c）A、B两截面处一对方向相反的力偶，A、B两截面的相对转角图4-4广义力和广义位移4.2.2刚体的虚功原理1．刚体虚功原理当结构体系在位移过程中不考虑材料应变，各杆只发生刚体运动，此体系属于刚体体系。刚体的虚功原理可表述为：刚体处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体约束情况的任意微小刚体位移，刚体上所有外力所作的虚功总和等于零。刚体系的虚功原理可表述为：刚体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体系约束情况的任意微小刚体位移，刚体系上所有外力所作的虚功总和等于零。即有0W=（4-2）如图4-5（a）中表示简支梁上作用的一组平衡力系（包括荷载和约束反力），图4-6（b）表示简支梁由于支座沉陷而产生的刚体位移。图4-5（a）和图4-5（b）是两个彼此无关的状态，根据虚功原理（4-2）式，得P11P2211220AyAyWFFFcFc=Δ+Δ++=对一般情况，式（4-2）的具体表达式为P0iiAykkFFcΔ+=∑∑（4-3）式中，PiF为体系所受的荷载；AykF为体系的约束反力；iΔ为与PiF相应的位移，iΔ与力PiF方向一致时，乘积PiiFΔ为正；kc为与AykF相应的位移，kc与力AykF方向一致时，乘积结构力学102AykkFc为正。图4-5虚功原理2．刚体虚功原理的应用虚功原理中的平衡力系与可能位移是两个彼此无关的状态，因此既可以把位移看作是虚设的，也可以把力系看作是虚设的。根据虚设对象的不同选择，虚功原理主要有两种应用形式，用来解决两类问题。第一种是对于一给定的平衡力系状态，利用虚设的可能位移状态求未知力，也称为虚位移原理；第二种是对于一给定的位移状态，利用虚设的平衡力系求未知位移，也称为虚力原理。（1）虚位移原理。图4-6（a）所示为一伸臂梁，在PF作用下求A支座反力AyF。（a）平衡力系状态（b）虚位移状态（c）单位虚位移状态图4-6伸臂梁为应用虚功原理，应使梁发生刚体位移，于是，将与拟求支座反力AyF相应的约束撤除，代以相应的力AyF（这时的AyF已是主动力），ABC刚片可以绕铰支座B作自由转动，A位移到1A，C位移到1C，得到一虚设的可能位移状态，如图4-6（b）所示。图4-6（a）所示的力系，在外力PF作用下，与支座反力AyF、ByF、BxF维持平衡，即图4-7（a）给出了一组平衡力系状态。图4-6（a）给定的平衡力系状态在图4-6（b）的虚位移状态下作虚功，建立体系的虚功方程。可得PP0AyxFFΔ+Δ=（4-4）其中，xΔ和PΔ分别是沿AyF和PF作用的虚位移，且xΔ与AyF方向一致，取正号；PΔ与PF方向相反，取负号。由几何关系可知xaθΔ=PbθΔ=−则PxbaΔ=−Δ（a）将式（a）代入式（4-4）得第4章结构的位移计算103PP0AyxbFFaΔ−Δ=即P0AybFFa−=（b）PAybFFa=（c）由式（a）可以看出PxΔΔ比值不随xΔ的大小而改变。因此，为计算方便，可虚设AyF方向的位移为单位位移（图4-6（c）），即令1xδ=，PΔ记为Pδ。则有Pbaδ=−这时，虚功方程为PP10AyFFδ⋅+⋅=，PPPAybFFFaδ=−=所得结果为正，表明力AyF与所设方向相同，即向下。例题4-1求图4-7（a）所示伸臂梁跨中截面D的剪力QxDFF=相应的约束撤除，即将截面D左、右改为用两个平行于杆轴的平行链杆连接；在截面D处代之以一对大小相等方向相反的剪力QxDFF=，这里xF是一对广义力，如图4-7（b）所示，刚片DBC可以绕铰支座B作自由转动，D位移到1D，C位移到1C；因为AD刚片与DBC刚片是用两个平行于杆轴的链杆相连，位移后2AD仍应与11DBC平行，A点因有竖向支杆竖向位移为零，故得到一虚设的可能位移状态，如图4-7（c）所示。令图4-7（b）所示的平衡力系在图4-7（c）的虚位移上作虚功，得虚功方程如下PP0xxFFΔ+Δ=图4-7例题4-1图这里，xΔ是截面D左、右的相对错动，为广义位移。在图4-7（d）中，令1xδ=，则由几何关系可得Pbaδ=虚功方程为PP10xFFδ⋅+⋅=得结构力学104QPxDbFFFa==−所得结果为负，表明QxDFF=与所设方向相反，即剪力为负。以上这种求约束力和内力的方法，也称为单位位移法。由此，可得应用虚功原理计算静定结构某一约束力xF（包括支座反力或任一截面的内力）的步骤如下：①撤除与xF相应的约束，代以相应的约束力xF；使原来的静定结构变为具有一个自由度的机构，约束力xF变为主动力xF，xF与原来的力系维持平衡。②使机构发生一刚体体系的可能位移，沿xF正方向相应的位移为单位位移，即1xδ=，与荷载PF相应的位移为Pδ，得到一虚位移状态。③在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程PP10xFFδ⋅+⋅=∑④求出单位位移1xδ=与Pδ之间的几何关系，代入虚功方程，得到PPxFFδ=−∑这里，关键的步骤是撤去与拟求约束力相应的约束，并在拟求约束力正方向虚设单位位移，正确地画出虚位移图，用几何关系求出Pδ。例题4-2利用虚功原理求图4-8（a）所示静定多跨梁的支座反力CyF和截面G处的弯矩GM。解首先求支座反力CyF。①撤去支座C的竖直支杆，代以相应的支座反力xF，得到图4-8（b）所示的机构。②令此机构沿xF正方向发生单位位移，即1xδ=，得到刚体体系的虚位移图，如图4-8（c）所示。根据刚体体系的虚位移图，可得到几何关系P13δ=−，P21.5δ=这里，P1δ方向与P1F方向相反，应为负值。③建立虚功方程P1P1P2P210xFFFδδ×++=④将几何关系代入，得CyF=2(3)1.54.5xFFFF=−×−−×=然后求截面G的弯矩GM。①撤除与弯矩GM相应的约束，即将截面G由刚结改为铰结，并代以一对大小相等、方向相反的力偶xM。所得机构为图4-8（d）所示。②令此机构在xM正方向发生相对单位转角，即1xδ=，得到刚体体系的虚位移图如图4-8（e）所示。由几何关系可得P14aδ=−，P22aδ=③虚功