z变换与拉普拉斯变换的关系

§8.6z变换与拉普拉斯变换的关系sTzsze,关系TΩTTΩσzj)j(eeesTΩΩΩTθrπ2:e:幅角半径所以代入比较一．z平面与s平面的映射关系sTzze号变换的定义时，引入符在引入Ωssj)(：直角坐标OΩj0jΩ0Ωsjs平面je)(rzz：极坐标jerz)Re(z)Im(jzOz平面0r0s平面z平面几种情况（1）s平面的原点，z平面，即。00Ωσ01θr1z0σ0σ0σ:为常数1r1r1r0:为常数r左半平面虚轴右半平面左向右移单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大（2）（3），正实轴平面：实轴平面0θz0Ωs（4）z~s映射不是单值的。πθ2ΩΩs二．z变换与拉式变换表达式之对应?zXsXzXnxZsXtxL,nxtx写出能否借助，均匀抽样10nnu;210ttu定义为在点　　　阶跃序列点定义为在例如，阶跃信号成项指数信号相加组合而由若连续时间信号Ntxˆtxtxtxtxnˆˆˆˆ21tuAtxNitpiNiii11eˆ注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。容易求得，它的拉式变换为N1iiipsAtxˆL成项指数序列相加组合而由若序列NnTxnTxnTxnTxnTxN21nTueAnTxN1inTpiN1iii变换为它的zN1i1Tpize1AnTxZi借助模拟滤波器设计数字滤波器注意跳变值0teA0t2A0t0txˆtpiiii0teA0tA0t0nTxntpiiii即点补足系时必须在按抽样规律建立二者联,2A0i0n2AnTttutxˆ0nnTttutxˆnunTxiiii当当变换。的，求抽样序列的拉式变换为已知指数函数znTueas1tueanTattuetxatas1sX变换为的，可以直接求出只有一个一阶级点znTueassXanTaTzzXe111解：例8-6-1可以展成部分分式于是，sX变换。的序列，求抽样的拉式变换为已知正弦信号znTunTωsinωsωtutωsin020200tutωsintx02020ωsωsX其留数分别为，的极点位于显然,ωjsωjssX020100ωjs2jωjs2jsX解：已知2jA2jA21及例8-6-2变换为的可以得到znTunTωsin0Tωj1Tωj100ez12jez12jzX20101zTωcosz21Tωsinz§8.7用z变换解差分方程序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：•时域方法——第七章中介绍•z变换方法•差分方程经z变换→代数方程；•可以将时域卷积→频域（z域）乘积；•部分分式分解后将求解过程变为查表；•求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。一．应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；(2)由z变换方程求出响应Y(z)；(3)求Y(z)的反变换，得到y(n)。一．步骤二．差分方程响应y(n)的起始点确定2212zzzzY全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前观察Y(z)分子分母的幂次分母高于分子的次数是响应的起点。有不为零的值开始从ny2n三．差分方程解的验证解答是正确的两种迭代结果相同解的表达式迭代出原方程迭代出,2y,1y,0y2y,1y,0y例8-7-1求系统的完全响应。若边界条件达式为已知系统的差分方程表,1)1(y)n(u05.0)1n(y9.0)n(y105.019.01zzyzYzzY9.019.09.0105.02zzyzzzzY解：方程两端取z变换9.0121zzAzzAzzY9.0121zzAzzAzzY45.05.021AA9.045.015.0zzzzzzY09.045.05.0nnyn例8-7-2解：已知系统框图列出系统的差分方程。求系统的响应y(n)。（1）列差分方程，从加法器入手nynynynxnx2213112213nxnxnynyny所以E1nxE1E123ny,010,0002yynnnxn452,211yy21213121yyzzYzyzYzzY101221xzzzzz（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质（2）由方程迭代出用变换求解需要用0y,1y,2y,1yza.由激励引起的零状态响应2123121zszzzzzY22zs2zzzY零状态响应为nunnyzYn21zszs即b.由储能引起的零输入响应都成立）（对2n221312231121ziyyyzzzzY1223121zizzzzzzzzzY01223zizinnyzYnn即零输入响应为c.整理（1）式得全响应221122zB2zB1zA2z1z2zzY22z2z1z22zzdd!121B22122z22z21z2zzY所以22zz22zz21zz2zY0n2n2212nynnn2,221BA22z1zz2zY注意由方程解y(n)表达式可以得出y(0)=0,y(1)=0，和已知条件一致。2,)()(2aazaznunan1122211nnnynn故21242222nunnynn或验证