有关球的高考题

1.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.ππD.【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()πB.323πππ【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为23,所以正3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()ππππ【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()πB.9π2πD.32π3【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=68102=2,直径为4侧棱.所以球的最大直径为3,半径为32,此时体积V=9π2.方体的外接球的半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2=12π.5.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2,则球O的表面积等于（）（A）4(B）3(C)2(D)【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式.【思路点拨】【规范解答】选A.SA平面ABC，AB，AC平面ABC，SAAB，SAAC，故可以A为原点，AC所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如图所示建立空间坐标系设球心坐标球的半径球的表面积的空间直角坐标系A-xyz，则(0,0,0)A,63(,,0)33B,(0,3,0)C,(0,0,1)S,设球心O坐标为000(,,)xyz，则点O到各顶点S，A，B，C的距离相等，都等于球的半径R.222200022220002222000222200063()()(0)33(0)(3)(0)(0)(0)(1)xyzRxyzRxyzRxyzR，解得2000310,,,122xyzR，球的表面积为24414R.故选A.【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2.也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC是直角，所以AC是过A，B，C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到点S，A，C的距离都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半，3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解.6.（2010·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）（A）2a（B）273a（C）2113a（D）25a【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选Ｂ.设球心为O，设正三棱柱上底面为ABC，中心为O，因为三棱柱所有棱的长为a，则可知OO2a，33OAa，又由球的相关性质可知，球的半径22216ROOOAa，所以球的表面积为22743Ra，故选Ｂ.7．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（）（A）33(B)233(C)433(D)533【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C，设球心为O，则BOAO,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,SC故2BOAO，且有SCAO，SCBO．∴)(31OCSOSVVVAOBAOBCAOBSABCS=3344243312．8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC=4，BA,是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥ABCS的体积为（）（A）33（B）32（C）3（D）1【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由题意可知SAC和SBC是两个全等的直角三角形，过直角顶点BA,分别作斜边上的高线BHAH,，由于30BSCASC，求得3BHAH，所以等边ABH的面积为2ABH333S(3)44，所求棱锥ABCS的体积等于以ABH为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC的长，故31ABCSV43334．9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC,则棱锥OABCD的体积为__.【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD的体积.【精讲精析】如图所示，OO垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O，连接OB，OB，则在RtOOB中，由OB＝4,23OB，可得OO＝2,11623283.33OABCDVSOO【答案】8310.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解.【精讲精析】如图设球的半径为R，圆锥的底面圆半径为r，则依题意得223416rR，即3cos,2rOCOR130,2OCOOOR，11,22AORRBORR,【答案】1311.（2012·新课标全国高考理科·T11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）2.6A(B)36(C)23(D)22【解题指南】思路一：取AB的中点为D，将棱锥分割为两部分，利用BCDSACDSVVV求体积；思路二：设点O到面ABC的距离为d,利用123ABCVSd求体积；思路三：利用排除法求解.【解析】选A.方法一：SC是球O的直径，90CASCBS.1BABCAC，2SC，3ASBS，取AB的中点为D，显然ABCD，ABCSSD，AB平面CDS.在CDS中，32CD＝，112DS，2SC，利用余弦定理可得1cos,33CDS故42sin33CDS，1311422222233CDSS，13BCDSACDSCDSVVVSBD[phone]CDSCDSSADSBA.方法二：ABC的外接圆的半径33r，点O到平面ABC的距离2263dRr，SC为球O的直径点S到平面ABC的距离为2623d，此棱锥的体积为113262233436ABCVSd.方法三：13236ABCVSR，排除,,BCD.12.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.33500cmB.33866cmC.331372cmD.332048cm【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用334RV求出球的体积.【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知，2224)2(RR,解得5R，所以球的体积332445005()333VRcm13.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（）（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定理求得球的半径，然后利用公式求得球的体积.【解析】选B.设球O的半径为R，则22R1(2)3，故34433VR球.14.（2012·辽宁高考文科·Ｔ16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D看作长方体的顶点来考虑.【解析】由题意，PA⊥平面ABCD，则点P,A,B,C,D,可以视为球O的内接长方体的顶点，球O位于该长方体的对角线的交点处，那么△OAB的面积为长方体对角面的四分之一.123,266=236=334ABPAPBOABD，，面积的123,266=236=334ABPAPBOABD，，面积.【答案】3315.（2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上，若13,4,,12,ABACABACAA，则球O的半径为（）【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心O和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形，其外接圆的圆心O为其斜边BC的中点，连接,,OAOOOA,由勾股定理，222OAOOOA其中1115,6,222OAROOAAOABC,所以球O的半径为225136().22OAR16.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为_______.【解析】因为截球O所得截面的面积为π，所以截面的半径为1.设球的半径为R,则32RAH,34RBH,由勾股定理得222)3(1RR,解得892R.所以球O的表面积为2942R.【答案】92.17.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ16）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）相同已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，3602OKOK，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O的表面积等于.【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆O与圆K所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长.【解析】如图，设公共弦RMN