一、曲面的面积.

一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力§9.4重积分的应用上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页提示一、曲面的面积下页元素法因为点M处的法向量为n(fxfy1)设dA为曲面上点M处的面积元素dA在xOy平面上的投影为小闭区域d点M在xOy平面上的投影为点P(xy)因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n^k)所以dAcos(n^k)d所以dA|n|dcos(n^k)|n|1又因为nk|n|cos(n^k)1曲面的面积元素设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数所以上页下页铃结束返回首页dyxfyxfddAyx),(),(1||22n一、曲面的面积曲面的面积元素设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数设dA为曲面上点M处的面积元素dA在xOy平面上的投影为小闭区域d点M在xOy平面上的投影为点P(xy)因为点M处的法向量为n(fxfy1)所以下页dyxfyxfddAyx),(),(1||22n上页下页铃结束返回首页下页一、曲面的面积dyxfyxfdAyx),(),(122曲面的面积设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数则曲面S的面积为dyxfyxfAyxD),(),(122或dxdyyzxzAD22)()(1曲面的面积元素设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数则曲面的面积元素为上页下页铃结束返回首页曲面的面积公式讨论(1)曲面xg(yz)的面积如何求？(2)曲面yh(zx)的面积如何求？提示下页或dxdyyzxzAD22)()(1(1)dydzzxyxAyzD22)()(1其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域(2)dzdxxyzyAzxD22)()(1其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域上页下页铃结束返回首页球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积222yxRxxz222yxRyyz222yxRxxz222yxRyyz所以22)()(12222yzxzARyxdxdyyxRRRyx2222222200222RRddRdxdyyxRRRyx2222222200222RRddR球心在原点的上半球面的方程为222yxRz而提示此积分的被积函数是无界的因此这是一种反常积分下页上页下页铃结束返回首页球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积222yxRxxz222yxRyyz222yxRxxz222yxRyyz所以22)()(12222yzxzARyxdxdyyxRRRyx2222222200222RRddR202244RRRRdxdyyxRRRyx2222222200222RRddR202244RRRR球心在原点的上半球面的方程为222yxRz而首页上页下页铃结束返回首页分析在点P(xy)处取一直径很小的小薄片其面积(面积元素)为d其质量认为集中于点P其值近似为(xy)dP点对y轴的静矩为dMyx(xy)d分析•P点对y轴的静矩为dMyx(xy)d•设质心的横坐标为x薄片的质量为M则xMMy•薄片对y轴的静矩为DydyxxM),(二、质心dP(x,y)下页设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(上页下页铃结束返回首页分析•P点对x轴的静矩为dMxy(xy)d•设质心的横坐标为y薄片的质量为M则yMMx•薄片对x轴的静矩为二、质心dP(x,y)下页设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(DxdyxyM),(上页下页铃结束返回首页二、质心设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为DDdxdxDDdydy讨论设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度是常数如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(下页上页下页铃结束返回首页下页二、质心类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是闭区域上的连续函数则该物体的质心坐标为dvzyxdvzyxxx),,(),,(dvzyxdvzyxyy),,(),,(dvzyxdvzyxzz),,(),,(设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(上页下页铃结束返回首页解下页例2求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心解由对称性所以形心),(yxC位于y轴上于是0x31222dD解由对称性所以形心),(yxC位于y轴上于是0x31222dD因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD所以3737y因此所求形心是)37,0(C上页下页铃结束返回首页提示取半球体的对称轴为z轴原点取在球心上解例3求半径为a的均匀半球体的质心显然质心在z轴上故0yx半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)|x2y2z2a2z0}因为dvzdvdvdvzz83a因为dvzdvdvdvzz83a因为dvzdvdvdvzz83aadrrrdddvz022020sincos42214aadrrrdddvz022020sincos42214a提示0ra2002adrrdddv022020sin323aadrrdddv022020sin323a下页上页下页铃结束返回首页取半球体的对称轴为z轴原点取在球心上解例3求半径为a的均匀半球体的质心显然质心在z轴上故0yx半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)|x2y2z2a2z0}因为dvzdvdvdvzz83a因为dvzdvdvdvzz83a因为dvzdvdvdvzz83a所以质心为)83,0,0(a首页上页下页铃结束返回首页转动惯量元素在点P(xy)处取一直径很小的小薄片其面积(面积元素)为d其质量认为集中于点P其值近似为(xy)dP点对x轴和对y轴的转动惯量为dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d三、转动惯量下页dP(x,y)dyxyIDx),(2dyxxIDy),(2设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为上页下页铃结束返回首页三、转动惯量类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是上的连续函数则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数dvzyxzyIx),,()(22dvzyxxzIy),,()(22dvzyxyxIz),,()(22则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为dyxyIDx),(2dyxxIDy),(2下页上页下页铃结束返回首页下页所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix例5求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量解取坐标系如图薄片所占闭区域D可表示为D{(xy)|x2y2a2y0}DDxdddyI222sin0032sinadd2441241Maa其中221aM为半圆薄片的质量DDxdddyI222sin0032sinadd2441241Maa0032sinadd2441241Maa上页下页铃结束返回首页例6求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量取球心为坐标原点z轴与轴l重合又设球的半径为a解球体所占空间闭区域可表示为{(xyz)|x2y2z2a2}所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量IzdvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043sin5158aMa252其中334aM为球体的质量dvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043sin5158aMa252drrdda200043sin5158aMa252首页上页下页铃结束返回首页四、引力下页设物体占有空间有界闭区域其密度(xyz)为上的连续函数求物体对于物体外一点P0(x0y0z0)处的单位质量的质点的引力设在内点P(xyz)处的体积元素为dv则点P对位于点P0处的单位质量的质点的引力近似为其方向为r(xx0yy0zz0)r|r|dF(dFxdFydFz))))(,,(,))(,,(,))(,,((303030dvrzzz