§4.6-乘积测度与Fubini定理

116§4.6乘积测度与Fubini定理教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini定理.本节要点乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理.Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.设X和Y是两个非空集,.,YBXA⊂⊂称BA×为YX×中的矩形(定义∅=×∅∅=∅×BA,).例如,平面可以看成是直线与直线的乘积,即1R=×1R.2R当A和B是直线上的有界区间时,BA×就是平面上的通常意义下的矩形.本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间,但可以将1R=×1R2R这一特殊情形作为直观模型.通过直接验证,不难证明矩形具有如下性质(图6—1):(1).).()()()(21212211BBAABABA∩×∩=×∩×(2).)].()[(])[()()(21211212211BBAABAABABA−×∩∪×−=×−×图6-1设),,(µAX和),,(νBY是两个测度空间.若,A∈A,B∈B则称BA×为可测矩形.设C是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半环.由C生成的代数−σ)(Cσ称为A与B的乘积σ-代数,记为.BA×)()(21212BBAAE−×∩=1211)(BAAE×−=X1A2A1E2B1BY2E117在C上定义一个非负值集函数如下.对任意∈×BAC,令).()())((BABAνµνµ⋅=××(1)定理1由(1)式定义的集函数νµ×是C上的测度.证明显然0))((=∅×νµ.往证νµ×在C上是可数可加的.设BA×是一个可测矩形,}{nnBA×是一列互不相交的可测矩形使得1.nnnABAB∞=×=×∪由于}{nnBA×是互不相交的,故成立.)()()()(1∑∞−=nBABAyIxIyIxInn对任意固定的,Yy∈将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到.)()()()(1∑∞==nBnByIAyIAnµµ再对y积分得到.)()()()(1∑∞=⋅=⋅nnnBABAνµνµ这就是.))(())((1∑∞=××=××nnnBABAνµνµ即νµ×在C上是可数可加的.因此νµ×是C上的测度.■设R是由C生成的环,即}.1,,,:{11≥===kEEEAkkii是互不相交的可测矩形∪R注意由于∈×YX,R故R实际上是一个代数.按下面的方式将νµ×延拓到R上.若∈E,RE的一个分解式为,1∪kiiiBAE=×=则令.)()())((1∑=⋅=×kiiiBAEνµνµ(2)由§2.2.引理7,))((BA××νµ的值不依赖于BA×的分解式的选取.由定理1和§2.2定理8立即得到如下定理.定理2由(2)式定义的集函数νµ×是R上的测度.设∗×)(νµ是由νµ×导出的外测度,νµ×M是∗×)(νµ可测集的全体所成的−σ代数.由§2.2定理5,∗×)(νµ在νµ×M上是一个测度,称这个测度为µ和ν的乘积测度,仍记为118νµ×.称测度空间),,(νµνµ×××MYX为),,(µAX与),,(νBY乘积空间.由§2.2.定理10,测度空间),,(νµνµ×××MYX是完备的.容易证明若µ和ν都是−σ有限的,则νµ×也是−σ有限的(其证明留作习题).由第一章习题第26题的结果知道)(Cσ=).(Rσ由BA×的定义和§2.2定理5,BA×=)(Cσ=⊂)(Rσνµ×M.因此νµ×也是BA×上的测度.有时也称测度空间),,(νµ×××BAYX为),,(µAX与),,(νBY乘积空间.下面我们将证明Fubini定理.为此需要作一些准备.设.,XxYXE∈×⊂称集}),(:{EyxYyEx∈∈=为E在x的截口.类似地,对,Yy∈称集}),(:{EyxXxEy∈∈=为E在y的截口.注意xE和yE分别是Y和X的子集(图6—2).图6—2容易验证关于截口成立,)()().i(11∪∪∞=∞==nxnxnnEE.)().ii(xxxFEFE−=−同样,关于y的截口也成立类似的性质.定理3设),,(µAX和),,(νBY是两个−σ有限的测度空间,∈EBA×.则).i(对任意,Xx∈必有.B∈xE).ii()(xEν和是),,(µAX上的可测函数.并且成立等式∫=×.)())((µννµdEEx(3)XYxEyExyE119证明).i(设C是可测矩形的全体.令F}.,:{BBA∈∈×∈=xEXxE对任意若∈×=BAE,C则当Ax∈时,.BEx=当Ax∉时,.∅=xE故对任意,Xx∈.B∈xE因此.FC⊂利用截口的性质容易证明F是一个σ-代数.因此得到=×BA⊂)(Cσ.F即对任意Xx∈必有.B∈xE)ii(先设.)(+∞Yν由本定理的结论),i(对任意,Xx∈必有.B∈xE故函数)(xEν有意义.令}.)(:{可测的是ABAFxEEν×∈=若BAE×=是一个可测矩形,则)()()(xIBEAxνν=是A可测的.这表明.FC⊂往证F是一个λ类.显然∈×YX.F设∈FE,F并且.FE⊃注意到,)()(+∞≤YFxνν我们有).()()())((xxxxxFEFEFEνννν−=−=−故))((xFE−ν是A可测的.因此∈−FE,F即F对包含差运算封闭.再设⊂}{nEF并且.↑nE则.)(↑xnE于是有).)((lim))(())((11xnnnxnxnnEEEννν∞→∞=∞===∪∪由上式看出))((1xnnE∪∞=ν是A可测的.因此∈∞=∪1nnE,F即F对单调增加的集列的并运算封闭.所以F是包含C的一个λ类.注意到C是一个π类.由§1.3.推论12,我们有=×BA⊂)(Cσ.F即对任意∈EBA×,)(xEν是A可测的.若.)(+∞=Yν由于),,(νBY是−σ有限的,因此存在Y的一列互不相交的可测集}{nY使得+∞)(nYν并且1.nnYY∞==∪对每个,1≥n在B上定义测度∈∩=BYBBnn),()(νν.B则.)()(+∞=nnYYνν设∈EBA×.则由上面所证,每个,1≥n)(xnEν是A可测的.我们有.)()())(()(111∑∑∞=∞=∞==∩=∩=nxnnnxnnxxEYEYEEνννν∪由此可见)(xEν是A可测的.在BA×上定义集函数λ如下:∈=∫EdEEx,)()(µνλBA×.120则λ是非负值集函数并且.0)(=∅m设}{nE是BA×中的一列互不相交的集.则由单调收敛定理得到.)())(())(())(()(11111∑∫∑∫∫∞=∞=∞=∞=∞=====nnnxnnxnxnnnnEdEdEdEEλµνµνµνλ∪∪∪即λ是可数可加的.故λ是BA×上的测度.若BAE×=是一个可测矩形,则).)(()()(.)()()()(EBAdxIBdEEAxνµνµµνµνλ×=⋅===∫∫故在C上.νµλ×=测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环R上.νµλ×=由于µ和ν都是−σ有限的,容易知道λ和νµ×也是−σ有限的(参见习题).由§2.2定理6知道在BA×上.νµλ×=这表明对任意∈E,BA×(3)式成立.■注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义BA×上的乘积测度,νµ×这样定义的νµ×与我们前面定义的νµ×M上的乘积测度νµ×在BA×上是一致的.但是这样得到的乘积测度空间),,(νµ×××BAYX一般说来不是完备的.本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,(νµνµ×××MYX,这样就避免了对),,(νµ×××BAYX再进行完备化的讨论.引理4设),,(µAX和),,(νBY是两个完备的测度空间,若∈Eνµ×M并且.0))((=×Eνµ则对几乎所有,Xx∈B∈xE并且a.e.,0)(=xEν证明由§2.2定理11,存在∈F=)(Rσ,BA×使得EF⊃并且.0))(())((=×=×EFνµνµ定理3)ii(蕴涵a.e.0)(=xFν由于B关于ν是完备的,因此由xxFE⊂得到∈xEa.e.,B并且a.e.0)(=xEν.■定理5设),,(µAX和),,(νBY是两个完备的−σ有限的测度空间,∈Eνµ×M.则).i(则对几乎所有,Xx∈必有.B∈xE).ii()(xEν是),,(µAX上的可测函数.并且成立等式∫=×.)())((µννµdEEx(4)).iii(若),(yxf是),,(νµνµ×××MYX上的可测函数,则对几乎所有,Xx∈函数),()(yxfyfx=是),,(νBY上的可测函数.证明设∈Eνµ×M.由§2.2定理13,存在∈FBA×和∈Nνµ×M,,0))((=×Nνµ使得.NFE−=由引理4,∈xNa.e.,B并且a.e.0)(=xNν再利用定理3,我们有∈−=xxxNFEa.e.,B因此)i(得证.由定理3,)(xFν是A可测的.由于121A关于µ是完备的,并且a.e.),()()()(xxxxFNFEνννν=−=故)(xEν是A可测的(参见第三章习题第7题).注意到,0))((=×Nνµ由定理3)ii(,∫∫==×=×).()())(()))((xxEdFFEννννµνµ即(4)成立.因此)ii(得证.由于对任意实数,a∈}),(:),{(ayxfyxνµ×M.于是由结论)i(,对几乎所有,Xx∈我们有∈=∈xayxfyxayxfYy}),(:),{(}),(:{.B即),()(yxfyfx=是),,(νBY上的可测函数.因此)iii(得证.■由对称性,关于yE和)((yEµ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果.设),,(µAX和),,(νBY是两个测度空间,),(yxf是YX×上的可测函数.若对几乎所有固定的,Xx∈),(yxf在Y上的积分存在.记()(,).Ygxfxydν=∫()(xg可能在一个−µ零测度集上没有定义,在这个零测度集上令)(xg=0).若)(xg是X上的可测函数并且在X上的积分存在,则称f的二次积分存在,并且称()Xgxdµ∫为f的二次积分,记为()XYfddνµ∫∫或.XYdfdµν∫∫类似可以定义另一个顺序的二次积分.YXdfdνµ∫∫关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理.这是本节最主要的结果定理6(Fubini理)设),,(µAX和),,(νBY是两个完备的−σ有限的测度空间.则).i(若f是),,(νµνµ×××MYX上的非负可测函数,则()(,)YIxfxydν=∫和()(,)XJyfxydµ=∫分别是X和Y上的非负可测函数.并且成立XYfdµν××=∫()XYfddνµ∫∫=().YXfddµν∫∫(5)).ii(若f是),,(νµνµ×××MYX上的可积函数,则()(,)YIxfxydν=∫和()(,)XJyfxydµ=∫分别是关于µ和ν可积的.并且(5)成立.证明).i(由对称性,只需证明()(,)YIxfxydν=∫是X上的非负可测函数,并且XYfdµν××=∫()XYfddνµ∫∫(6)先设EIf=是特征函数,其中∈Eνµ×M.由定理5)i(,对几乎所有,Xx∈∈xE.B于是(,)()().xEExYYIxydIydEννν==∫∫a.e..−µ122由定理5)ii(,)(xEν是X上的可测函数.并且()..)()()(µνµννµνµddIdEEdIXYEXxYXE∫∫∫∫==×=××这表明当f是特征函数时,()(,)YIxfxydν=∫是X上的非负可测函数并且(6)成立.由积分的线性性质知道,当f是非负简单函数时,)(xI是X上的非负可测函数并且(6)成立.一般情形,设f是非负可测函数.则存在非负简单函数列}{nf使得.ffn↑由上面的证明,()(,)nnYIxfxydν=∫是X上的非负可测函数.由单调收敛定理得到(,)(,).nYYfxydfxydνν↑∫∫因此)(xI是X上的非负可测函数.再对函数列}{nI应用单调收敛定理,我们有()()limlim.nnnnXYXYXYXYfdfdfddfddµνµννµνµ→∞→∞×××=×==∫∫∫∫∫∫即(6)成立.因此)i