区间套定理的推广与应用

聊城大学本科生毕业论文题目：区间套定理的推广与应用专业代码：07010003作者姓名：学号：单位：指导教师：年月日目录摘要.........................................................................................................1关键词.........................................................................................................1Abstract......................................................................................................1Keywords..................................................................................................10引言.........................................................................................................21区间套定理在1R上的推广....................................................................22区间套定理在一般度量空间上的推广................................................63区间套定理在nR上的推广....................................................................84区间套定理的应用举例........................................................................9参考文献..................................................................................................12致谢...........................................................................................................13第1页共13页区间套定理的推广与应用摘要通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用.关键词1.区间套;2.拓展;3.应用Abstractseveraltheoremswhicharetestifiedaregotaftertheexpandingofthenestedintervaltheoremthroughtheapplicationofanalogy,analysis,anddeductiveandtheapplicationofthenestedintervaltheoremwasdiscussedbytheanalysisofsometypicalexamples.Keywordsnestedinterval;expansion;application第2页共13页区间套定理的推广与应用引言区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围,本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理,增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间nR上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用.1区间套定理在1R上的推广区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容.第3页共13页定义1.1设),3,2,1(,nbann是R中的闭区间列，如果满足:（¡）3,2,1,,,11nbabannnn;（¡¡）0limnnnab;则称nnba,为R中的一个闭区间套，或简称区间套.这里性质（1）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221bbbaaann（1）定理]1[1.1（闭区间套定理）若nnba,是一个闭区间套，则在实数系中存在惟一一点，使得),3,2,1(,nbann,即nanb，且nnnnbalimlim.（2）证：由（1）式，na为递增有界数列，依单调有界定理，na有极限，且有.,2,1,nan（3）同理，递减有界数列nb也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有nnnnablimlim,（4）且.,2,1,nbn（5）联合（3）、（5）即得（2）式。最后证明满足（2）的是唯一的.设数也满足,,2,1,nbann则由（2）式有第4页共13页.,2,1,nabnn由区间套的条件（¡¡）得0)(limnnnab，因有,故原命题成立.推论1.1若),3,2,1(,nbann是区间套nnba,确定的点,则对任意正数,存在自然数N,当Nn时,总有,,Ubann.注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如n1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且001limnn，但不存在属于所有开区间的公共点.定理]1[2.1数列na收敛的充要条件是:对任给的0,存在0N,使得对Nnm,有||nmaa.证：[必要性]设Aannlim.由数列极限定义,对任给的0,存在0N,当Nnm,时有,2Aam2Aan因而22AaAaaanmnm[充分性]按假设,对任给的0,存在0N,使得对一切Nn有Nnaa,即在区间NNaa,内含有na中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“na中几乎所有的项”表示“na中除有限项外的所有项”).据此,令21,则存在1N,在区间21,2111NNaa内含有na中几乎所有的项.记这个区间为11,.再令221，则存在)(12NN，在区间2221,2122NNaa内含有na中几乎所有第5页共13页的项．记112222,21,21,22NNaa，它也含有na中几乎所有的项，且满足21,,222211及继续依次令,,21213n，，照以上方法得一闭区间列nn,，其中每个区间都含有na中几乎所有的项．且满足,,2,1,,,11nnnnn)(0211nnnn即nn,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数nn,,,2,1n，现在证明数就是数列na的极限．事实上，由定理7.1的推论，对任给的0，存在0N，使得当Nn时有);(,Unn因此在);(U内除有限外的所有项，这就证得nnalim．定义2.1(严格开区间套定理)设),3,2,1(,nbann是R中的开区间列,如果满足:(1),3,2,1,1121nbbbaaannn;(2)0limnnnab;则称nnba,为R中的一个严格开区间套.定理]1[3.1(严格开区间套定理)若nnba,是R中的一个严格开区间套，则存在惟一一点，使得3,2,1,,nbann,且nnnnbalimlim.第6页共13页证明由定义2.1条件(1),na是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理,na有极限,不妨设nnalim,且,3,2,1,nan.同理严格递减有下界数列nb也有极限.由定义2.1条件(2)应有nnnnablimlim,且,3,2,1,nbn.从而存在3,2,1,,nbann.最后证明惟一性.假如另有,使得3,2,1,,nbann,那么有,3,2,1,nabnn.在上述不等式两边取极限,有0)(limnnnab.即.故原命题成立.定义3.1设),3,2,1(),[nnban是R中的半闭半开区间列,如果满足:(1),3,2,1,1121nbbbaaannn;(2)0limnnnab;则称),[nnba为R中的一个严格半闭半开区间套.定理1.4(严格半闭半开区间套定理)如果),3,2,1(),[nnban是R中的半闭半开区间套,则存在惟一一点，使得,3,2,1),,[nbann,第7页共13页且nnnnablimlim.仿定理]1[3.1的证明即可.2区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列,指的是该序列除了满足一般度量空间的要求,还应在度量空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广.定义1.2设H是一个非空集合,在H上定义一个双变量的是指函数),(yx,对任意的Hzyx,,,,有:(1)(正定性)0),(yx,并且0),(yx当且仅当yx成立;(2)(对称性)),(),(xyyx;(3)(三角不等式)),(),(),(xzzxyx;则称H为一个度量空间.定义2.2设F是度量空间H中的一个子集,对于F中的任意点列nx,若当)(0)(0nxxn,有Fx0,则称F为闭集.定义3.2设,X是一度量空间,X中的一个序列ziix,若对任意的实数0,存在整数0N,使得Nji,时,有jixx,,则称ziix为一个柯西序列.定义4.2如果对度量空间,X中的X的每一个柯西序列都收敛,则称,X是一个完备度量空间.定理]2[1.2设nF是完备度量空间H上的闭集列，如果满足：(1)),3,2,1(1nFFnn;第8页共13页(2)),(sup)((0)(lim,nFnnnFdFd;则在H中