闭区间套定理的证明、推广及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级2009级学号200906034129指导教师刘学飞2011年5月1闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院数学与统计学院09级数本（1）班）摘要闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。关键词开区间套定理闭区闭套定理聚点定理证明有界性定理证明1空间上的区间套定理定理1(闭区间套定理)设有闭区间列｛,nnab｝若11122,,....,....nnababab2lim()0nnnba则存在唯一数属于l。。所有的闭区间（即1,nnnabl），且limlimnnnnabl证明:由条件1可知，数列增加有上界1b，数列｛nb｝单调减少有下界1a，1221.........nnaaabbb根据公理，数列｛na｝收敛，设limnna=l．由条件2有limlim()limlim0nnnnnnnnnxnnbbaabaall于是，limlimnnnnabl，对任意取定的,nkNk,有knnkaabb，从而，limlimknnknnaalbb，或kkalb，即l属于所有的闭区间．证明l唯一性．假设还有一个'l也属于所有的闭区间，从而'',,,,nnnnnNllabllba有有有条件2),有'll即l是唯一的．2闭区间套定理的推广定理2（开区间套定理）若开区间列｛,nnab｝，若11122,,....,....nnababab2)(limnnnab=nnab2lim=0对每个闭区间[nnba,]，有)()(nnbfaf0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l属于所有2的闭区间，且nnalim=nnblim=l证：由条件⑴知：1221bbbaaann，即的数列，是单调增加有上界1ban的数列。是单调减少有下界1abn根据公理：收敛。收敛，nnba设,limlann由⑵知：0limlimlimnnnnnnnabab即：lbannnnlimlim对任意取定的k，单调减少，单调增加，，nnban于是：knnnnkbblaalimlim即：,kkbla即l属于所有的闭区间。证明：l是唯一性，应用反证法。假设还有ll也属于所有的闭区间，从而对任意nnnnabllballNn0,,,,有有.根据极限的不等式性质有：0limllabnnn，与条件⑵矛盾，所以l是唯一的。闭区间套定理也是实数连续性的一种描述，即不是实数集可能不成立。例1.在有理数集上，nnba,，,11,111nnnnbna这是一个闭区间套列，但是在有理数集上不存在一点属于所有的区间。推论1（半开半闭区间套定理）若半开半闭区间列(,]nnab满足：111,annnnnNabb有2lim()0nnnba则存在唯一数属于l所有的开区间（即1,nnnabl）1limlimnnnnabl32,123.........nnabn同理半闭半开区间列在相应条件下，有相同的结论．特别的，若定理1和推论1中区间列的端点组成的数列na时结论（1）为limnnab推论2若开区间列｛,nnab｝满足1,nN，11nnnnaabb2lim()0nnnba则存在一个实数l属于所有的开区间｛1,nnnabl｝，且l=limlimnnnnab证明据条件1和2由定理1和定理2显然可得l=limlimnnnnab且,nnlabn=1，2，3，．．．．3闭区间套定理的应用例1用区间套定理证明有界性定理证明:fx在,ab上无界，则等分,ab，即,ab=,,22ababab，至少有一个子区间上fx无界，不妨为11,ab，将11,ab等分，则存在子22,ab，使得fx在22,ab上无界，依此类推，不断等分区间，则得到无穷区间列,nnab11122,,....,....nnababab21102nnnbaban3fx在,nnab上无界，由1和2根据区间套定理唯一,,ab使limlimnnnnab而由于3nz,,nxnnnabfxn使，从而得到一点列nstx,0nnnxfxfx及函数列，且n由数列极限与连续函数极限的关系应用nx、fxf，这与fx矛盾所以假设不成立从而有界性定理得证．例2用闭区间套证明聚点聚点定理：有界无限点集E至少有一个聚点定义：设E是数轴上的点集，是一个定点，若点的任意邻域内都含有E的不同于4的一点，则称点是点集E的聚点。证明因为点集E有界，所以存在闭区间11,ab,使11,Eab将闭区间11,ab二等分1111,,22ababab，至少有一个闭区间含有额的无限多个点，否则闭区间11,ab只含有E的有限个点，与已知条件矛盾，设含有E的无限多个点的哪个闭区间表为22,ab，如果二个闭区间都含有111,2aba和1,2abb都含有E的无限多个点，则任取其一．再将闭区间22,ab二等分为222222,,22ababab，同样至少有一个闭区间E含有无限多个点，将此闭区间表为33,ab．同样方法无限次作下去，构造闭区间套1112233,,,.....,.....nnabababab2111limlim02nnnnnbaba每个闭区间,nnab都含有E的无限多个点，根据闭区间套定理，存在唯一所有的闭区间,nnabnN，且limlimnnnnab，已知有nN，有nnab，根据极限的保序性，0kN有ka即,,,kkab，已知闭区间,kkab含有E的无限多个点，从而,因为含有E的无限多个点，即是E的聚点．参考文献1刘玉琏等编数学分析讲义上册[M],北京：.高等教育出版社（第四版）200352张伟、许宏伟nR空间的区间套定理【J】高等数学研究2004，7（1）3陈娓区间套定理极其应用[J]长沙大学学报200014（2）4刘玉琏等编数学分析讲义下册[M],北京：.高等教育出版社（第四版）20035毛一波.闭区间套定理的推广[J].渝西学院报（自然）TheproofclosenestedintervaltheoremanditsextensionandapplicationJiangQingTing(ClassoneofGrand2009,Mathematicsandstatisticsinstitute,College,ChongqinginstituteThreeGoregesUniversity(404000))AbstractTheClosedintervalsetoftheoremisanimportanttheoreminmathematicsanalysis,canbeappliedtothemathematicsteaching,scientificresearchanddailylife.Andgetsomecorrespondingtheoremandmakeclosedintervalsetoftheorempromoted.Inmathematicsteachingoftheapplicationisthemostprominentplacetoprovesomemaththeorem,suchaszerotheorem.KeywordsClosedintervalsetoftheoremCloseTheoremofIntervalAccumulationpointtheoremprovingBoundednesstheorem.